Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2*x^2-x^3
-
2*x^2-20*x+1
-
(2-x^2)/(9x^2-4)^1/2
-
2+3*cos(4*x)
-
Expresiones idénticas
- uno -x/(x- dos)^ tres
- 1 menos x dividir por (x menos 2) al cubo
- uno menos x dividir por (x menos dos) en el grado tres
- 1-x/(x-2)3
- 1-x/x-23
- 1-x/(x-2)³
- 1-x/(x-2) en el grado 3
- 1-x/x-2^3
- 1-x dividir por (x-2)^3
-
Expresiones semejantes
- 1+x/(x-2)^3
- 1-x/(x+2)^3
Gráfico de la función y = 1-x/(x-2)^3
Solución
Ha introducido
[src]
x
f(x) = 1 - --------
3
(x - 2)
$$f{\left(x \right)} = - \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1$$
f = -x/(x - 2)^3 + 1
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.52137970680457$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.52137970680457$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x}{\left(x - 2\right)^{4}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x}{\left(x - 2\right)^{4}} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
26
(-1, --)
27 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(- \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)}{\left(x - 2\right)^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{6 \left(- \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{6 \left(- \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(- \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)}{\left(x - 2\right)^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{6 \left(- \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{6 \left(- \frac{2 x}{x - 2} + 1\right)}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - x/(x - 2)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1 = \frac{x}{\left(- x - 2\right)^{3}} + 1$$
- No
$$- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1 = - \frac{x}{\left(- x - 2\right)^{3}} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1 = \frac{x}{\left(- x - 2\right)^{3}} + 1$$
- No
$$- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{3}} + 1 = - \frac{x}{\left(- x - 2\right)^{3}} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar