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y=x^4-8x^2+5

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=x^6 y=x^6
  • y=x^5 y=x^5
  • y=x+4 y=x+4
  • y=x*4 y=x*4

  • Expresiones idénticas

  • y=x^ cuatro -8x^ dos + cinco
  • y es igual a x en el grado 4 menos 8x al cuadrado más 5
  • y es igual a x en el grado cuatro menos 8x en el grado dos más cinco
  • y=x4-8x2+5
  • y=x⁴-8x²+5
  • y=x en el grado 4-8x en el grado 2+5

  • Expresiones semejantes

  • y=x^4-8x^2-5
  • y=x^4+8x^2+5
Trazado el gráfico de la función/ y=x^4-8x^2+5

Gráfico de la función y = y=x^4-8x^2+5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4      2    
f(x) = x  - 8*x  + 5
f(x)=(x4−8x2)+5f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 5 
f = x^4 - 8*x^2 + 5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4−8x2)+5=0\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 5 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−4−11x_{1} = - \sqrt{4 - \sqrt{11}}
x2=4−11x_{2} = \sqrt{4 - \sqrt{11}}
x3=−11+4x_{3} = - \sqrt{\sqrt{11} + 4}
x4=11+4x_{4} = \sqrt{\sqrt{11} + 4}
Solución numérica
x1=−0.82666511335885x_{1} = -0.82666511335885
x2=0.82666511335885x_{2} = 0.82666511335885
x3=−2.7049260230837x_{3} = -2.7049260230837
x4=2.7049260230837x_{4} = 2.7049260230837
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 8*x^2 + 5.
(04−8⋅02)+5\left(0^{4} - 8 \cdot 0^{2}\right) + 5
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3−16x=04 x^{3} - 16 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -11)

(0, 5)

(2, -11)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−2,0]∪[2,∞)\left[-2, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2]∪[0,2]\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(3x2−4)=04 \left(3 x^{2} - 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−233x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}
x2=233x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−233]∪[233,∞)\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−233,233]\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4−8x2)+5)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 5\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−8x2)+5)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 5\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 8*x^2 + 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x4−8x2)+5x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 5}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−8x2)+5x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 5}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4−8x2)+5=(x4−8x2)+5\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 5 = \left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 5
- Sí
(x4−8x2)+5=(−x4+8x2)−5\left(x^{4} - 8 x^{2}\right) + 5 = \left(- x^{4} + 8 x^{2}\right) - 5
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^4-8x^2+5
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