Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (x^2+2*x)*e^-x

Gráfico de la función y = (x^2+2*x)*e^-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       / 2      \  -x
f(x) = \x  + 2*x/*E
f(x)=e−x(x2+2x)f{\left(x \right)} = e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right) 
f = E^(-x)*(x^2 + 2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20000002000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−x(x2+2x)=0e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=89.7280565000326x_{1} = 89.7280565000326
x2=48.3963836086947x_{2} = 48.3963836086947
x3=58.1211385583235x_{3} = 58.1211385583235
x4=95.6884128679652x_{4} = 95.6884128679652
x5=37.0713592767794x_{5} = 37.0713592767794
x6=109.615084597457x_{6} = 109.615084597457
x7=75.8502200597028x_{7} = 75.8502200597028
x8=64.0091582728753x_{8} = 64.0091582728753
x9=71.8959068817062x_{9} = 71.8959068817062
x10=117.581999032425x_{10} = 117.581999032425
x11=83.774456655146x_{11} = 83.774456655146
x12=52.2686954792205x_{12} = 52.2686954792205
x13=79.8100523902503x_{13} = 79.8100523902503
x14=40.7734798936756x_{14} = 40.7734798936756
x15=54.2145487691854x_{15} = 54.2145487691854
x16=0x_{16} = 0
x17=50.3289362867604x_{17} = 50.3289362867604
x18=62.0433676432483x_{18} = 62.0433676432483
x19=103.643733917975x_{19} = 103.643733917975
x20=69.9211906076499x_{20} = 69.9211906076499
x21=97.6764500177863x_{21} = 97.6764500177863
x22=35.2695206513987x_{22} = 35.2695206513987
x23=111.606309881405x_{23} = 111.606309881405
x24=81.7917334746358x_{24} = 81.7917334746358
x25=107.624230413862x_{25} = 107.624230413862
x26=46.4724450240127x_{26} = 46.4724450240127
x27=73.8723044353069x_{27} = 73.8723044353069
x28=42.6582150315442x_{28} = 42.6582150315442
x29=119.574503449427x_{29} = 119.574503449427
x30=60.0805571210015x_{30} = 60.0805571210015
x31=85.7581351198125x_{31} = 85.7581351198125
x32=93.7009703512766x_{32} = 93.7009703512766
x33=67.9483432722062x_{33} = 67.9483432722062
x34=38.9091112925386x_{34} = 38.9091112925386
x35=115.589786759242x_{35} = 115.589786759242
x36=65.9775817816825x_{36} = 65.9775817816825
x37=44.558930992648x_{37} = 44.558930992648
x38=101.654146483763x_{38} = 101.654146483763
x39=91.7141680867988x_{39} = 91.7141680867988
x40=−2x_{40} = -2
x41=113.597884083738x_{41} = 113.597884083738
x42=56.165604409395x_{42} = 56.165604409395
x43=87.7426914756113x_{43} = 87.7426914756113
x44=105.633771438231x_{44} = 105.633771438231
x45=121.567283846416x_{45} = 121.567283846416
x46=77.8295111187539x_{46} = 77.8295111187539
x47=99.6650404271081x_{47} = 99.6650404271081
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 2*x)*E^(-x).
e−0(02+0⋅2)e^{- 0} \left(0^{2} + 0 \cdot 2\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x+2)e−x−(x2+2x)e−x=0\left(2 x + 2\right) e^{- x} - \left(x^{2} + 2 x\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Signos de extremos en los puntos:
                          ___ 
    ___  /        ___\  \/ 2  
(-\/ 2, \2 - 2*\/ 2 /*e     )

                          ___ 
   ___  /        ___\  -\/ 2  
(\/ 2, \2 + 2*\/ 2 /*e      )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
[−2,2]\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2]∪[2,∞)\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x(x+2)−4x−2)e−x=0\left(x \left(x + 2\right) - 4 x - 2\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−3x_{1} = 1 - \sqrt{3}
x2=1+3x_{2} = 1 + \sqrt{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1−3]∪[1+3,∞)\left(-\infty, 1 - \sqrt{3}\right] \cup \left[1 + \sqrt{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[1−3,1+3]\left[1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−x(x2+2x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e−x(x2+2x))=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 2*x)*E^(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2+2x)e−xx)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) e^{- x}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2+2x)e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) e^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−x(x2+2x)=(x2−2x)exe^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right) = \left(x^{2} - 2 x\right) e^{x}
- No
e−x(x2+2x)=−(x2−2x)exe^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right) = - \left(x^{2} - 2 x\right) e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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