Sr Examen
Gráfico de la función y = (x^2+2*x)*e^-x
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \ -x f(x) = \x + 2*x/*E
$$f{\left(x \right)} = e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right)$$
f = E^(-x)*(x^2 + 2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 89.7280565000326$$
$$x_{2} = 48.3963836086947$$
$$x_{3} = 58.1211385583235$$
$$x_{4} = 95.6884128679652$$
$$x_{5} = 37.0713592767794$$
$$x_{6} = 109.615084597457$$
$$x_{7} = 75.8502200597028$$
$$x_{8} = 64.0091582728753$$
$$x_{9} = 71.8959068817062$$
$$x_{10} = 117.581999032425$$
$$x_{11} = 83.774456655146$$
$$x_{12} = 52.2686954792205$$
$$x_{13} = 79.8100523902503$$
$$x_{14} = 40.7734798936756$$
$$x_{15} = 54.2145487691854$$
$$x_{16} = 0$$
$$x_{17} = 50.3289362867604$$
$$x_{18} = 62.0433676432483$$
$$x_{19} = 103.643733917975$$
$$x_{20} = 69.9211906076499$$
$$x_{21} = 97.6764500177863$$
$$x_{22} = 35.2695206513987$$
$$x_{23} = 111.606309881405$$
$$x_{24} = 81.7917334746358$$
$$x_{25} = 107.624230413862$$
$$x_{26} = 46.4724450240127$$
$$x_{27} = 73.8723044353069$$
$$x_{28} = 42.6582150315442$$
$$x_{29} = 119.574503449427$$
$$x_{30} = 60.0805571210015$$
$$x_{31} = 85.7581351198125$$
$$x_{32} = 93.7009703512766$$
$$x_{33} = 67.9483432722062$$
$$x_{34} = 38.9091112925386$$
$$x_{35} = 115.589786759242$$
$$x_{36} = 65.9775817816825$$
$$x_{37} = 44.558930992648$$
$$x_{38} = 101.654146483763$$
$$x_{39} = 91.7141680867988$$
$$x_{40} = -2$$
$$x_{41} = 113.597884083738$$
$$x_{42} = 56.165604409395$$
$$x_{43} = 87.7426914756113$$
$$x_{44} = 105.633771438231$$
$$x_{45} = 121.567283846416$$
$$x_{46} = 77.8295111187539$$
$$x_{47} = 99.6650404271081$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 89.7280565000326$$
$$x_{2} = 48.3963836086947$$
$$x_{3} = 58.1211385583235$$
$$x_{4} = 95.6884128679652$$
$$x_{5} = 37.0713592767794$$
$$x_{6} = 109.615084597457$$
$$x_{7} = 75.8502200597028$$
$$x_{8} = 64.0091582728753$$
$$x_{9} = 71.8959068817062$$
$$x_{10} = 117.581999032425$$
$$x_{11} = 83.774456655146$$
$$x_{12} = 52.2686954792205$$
$$x_{13} = 79.8100523902503$$
$$x_{14} = 40.7734798936756$$
$$x_{15} = 54.2145487691854$$
$$x_{16} = 0$$
$$x_{17} = 50.3289362867604$$
$$x_{18} = 62.0433676432483$$
$$x_{19} = 103.643733917975$$
$$x_{20} = 69.9211906076499$$
$$x_{21} = 97.6764500177863$$
$$x_{22} = 35.2695206513987$$
$$x_{23} = 111.606309881405$$
$$x_{24} = 81.7917334746358$$
$$x_{25} = 107.624230413862$$
$$x_{26} = 46.4724450240127$$
$$x_{27} = 73.8723044353069$$
$$x_{28} = 42.6582150315442$$
$$x_{29} = 119.574503449427$$
$$x_{30} = 60.0805571210015$$
$$x_{31} = 85.7581351198125$$
$$x_{32} = 93.7009703512766$$
$$x_{33} = 67.9483432722062$$
$$x_{34} = 38.9091112925386$$
$$x_{35} = 115.589786759242$$
$$x_{36} = 65.9775817816825$$
$$x_{37} = 44.558930992648$$
$$x_{38} = 101.654146483763$$
$$x_{39} = 91.7141680867988$$
$$x_{40} = -2$$
$$x_{41} = 113.597884083738$$
$$x_{42} = 56.165604409395$$
$$x_{43} = 87.7426914756113$$
$$x_{44} = 105.633771438231$$
$$x_{45} = 121.567283846416$$
$$x_{46} = 77.8295111187539$$
$$x_{47} = 99.6650404271081$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(2 x + 2\right) e^{- x} - \left(x^{2} + 2 x\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(2 x + 2\right) e^{- x} - \left(x^{2} + 2 x\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ / ___\ \/ 2
(-\/ 2, \2 - 2*\/ 2 /*e )___ ___ / ___\ -\/ 2 (\/ 2, \2 + 2*\/ 2 /*e )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(x \left(x + 2\right) - 4 x - 2\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{3}\right] \cup \left[1 + \sqrt{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(x \left(x + 2\right) - 4 x - 2\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{3}\right] \cup \left[1 + \sqrt{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right)\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right)\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 2*x)*E^(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) e^{- x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) e^{- x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) e^{- x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) e^{- x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right) = \left(x^{2} - 2 x\right) e^{x}$$
- No
$$e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right) = - \left(x^{2} - 2 x\right) e^{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right) = \left(x^{2} - 2 x\right) e^{x}$$
- No
$$e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right) = - \left(x^{2} - 2 x\right) e^{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar