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Resolución de integrales/ x^2+2/ (x^2+2*x)*e^-x

Integral de (x^2+2*x)*e^-x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  0                  
  /                  
 |                   
 |  / 2      \  -x   
 |  \x  + 2*x/*E   dx
 |                   
/                    
-2
∫−20e−x(x2+2x) dx\int\limits_{-2}^{0} e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right)\, dx 
Integral((x^2 + 2*x)*E^(-x), (x, -2, 0))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(−u2eu+2ueu) du\int \left(- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u2eu) du=−∫u2eu du\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2eu+2ueu−2eu- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2ueu du=2∫ueu du\int 2 u e^{u}\, du = 2 \int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 2ueu−2eu2 u e^{u} - 2 e^{u}

        El resultado es: −u2eu+4ueu−4eu- u^{2} e^{u} + 4 u e^{u} - 4 e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −x2e−x−4xe−x−4e−x- x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} - 4 e^{- x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e−x(x2+2x)=x2e−x+2xe−xe^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right) = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=−xu = - x.

        Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2eu) du\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2eu du=−∫u2eu du\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2eu+2ueu−2eu- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −x2e−x−2xe−x−2e−x- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xe−x dx=2∫xe−x dx\int 2 x e^{- x}\, dx = 2 \int x e^{- x}\, dx

        1. que u=−xu = - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

          ∫ueu du\int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −xe−x−e−x- x e^{- x} - e^{- x}

        Por lo tanto, el resultado es: −2xe−x−2e−x- 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}

      El resultado es: −x2e−x−4xe−x−4e−x- x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} - 4 e^{- x}

  2. Ahora simplificar:

    −(x2+4x+4)e−x- \left(x^{2} + 4 x + 4\right) e^{- x}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −(x2+4x+4)e−x+constant- \left(x^{2} + 4 x + 4\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(x2+4x+4)e−x+constant- \left(x^{2} + 4 x + 4\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
 |                                                 
 | / 2      \  -x             -x    2  -x        -x
 | \x  + 2*x/*E   dx = C - 4*e   - x *e   - 4*x*e  
 |                                                 
/
∫e−x(x2+2x) dx=C−x2e−x−4xe−x−4e−x\int e^{- x} \left(x^{2} + 2 x\right)\, dx = C - x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} - 4 e^{- x}
Simplificar
Gráfica
-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.05-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-4
−4-4 
=
= 
-4
−4-4 
-4
Respuesta numérica [src] 
-4.0
-4.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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