Integral de (sqrt3(x)+xsqrt2(x)-sqrt(x))/(xsqrt(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{0.333333333333333}$.

      Luego que $du = \frac{0.333333333333333 dx}{x^{0.666666666666667}}$ y ponemos $1.0 du$:

      $\int \frac{1.0 \left(3.0 u - 3.0 u^{1.5} + 3.0 u^{4.5}\right)}{u^{2.5}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\text{True}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1.0 \left(- 3.0 u^{1.5} + 3.0 u^{4.5} + 3.0 u\right)}{u^{2.5}} = \frac{3.0}{u^{1.5}} - \frac{3.0}{u^{1.0}} + 3.0 u^{2.0}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3.0}{u^{1.5}}\, du = 3.0 \int u^{-1.5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{-1.5}\, du = - \frac{2.0}{u^{0.5}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6.0}{u^{0.5}}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3.0}{u^{1.0}}\right)\, du = - 3.0 \int u^{-1.0}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3.0 \log{\left(u \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3.0 u^{2.0}\, du = 3.0 \int u^{2.0}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2.0}\, du = 0.333333333333333 u^{3.0}$

            Por lo tanto, el resultado es: $1.0 u^{3.0}$

         El resultado es: $- \frac{6.0}{u^{0.5}} + 1.0 u^{3.0} - 3.0 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{6.0}{x^{0.166666666666667}} + 1.0 x^{1.0} - 3.0 \log{\left(x^{0.333333333333333} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- \sqrt{x} + \left(x^{0.333333333333333} + x^{0.5} x\right)}{\sqrt{x} x} = - \frac{- x^{0.333333333333333} + \sqrt{x} - x^{1.5}}{x^{\frac{3}{2}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{- x^{0.333333333333333} + \sqrt{x} - x^{1.5}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{- x^{0.333333333333333} + \sqrt{x} - x^{1.5}}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{- 2 u^{0.666666666666667} + 2 u - 2 u^{3.0}}{u^{2}}\, du$

         1. que $u = u^{0.666666666666667}$.

            Luego que $du = \frac{0.666666666666667 du}{u^{0.333333333333333}}$ y ponemos $- 1.0 du$:

            $\int \left(- \frac{1.0 \left(3.0 u - 3.0 u^{1.5} + 3.0 u^{4.5}\right)}{u^{2.5}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{- 3.0 u^{1.5} + 3.0 u^{4.5} + 3.0 u}{u^{2.5}}\, du = - 1.0 \int \frac{- 3.0 u^{1.5} + 3.0 u^{4.5} + 3.0 u}{u^{2.5}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\text{True}$

               2. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{1.0 \left(- 3.0 u^{1.5} + 3.0 u^{4.5} + 3.0 u\right)}{u^{2.5}} = \frac{3.0}{u^{1.5}} - \frac{3.0}{u^{1.0}} + 3.0 u^{2.0}$

               3. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{3.0}{u^{1.5}}\, du = 3.0 \int u^{-1.5}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{-1.5}\, du = - \frac{2.0}{u^{0.5}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6.0}{u^{0.5}}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{3.0}{u^{1.0}}\right)\, du = - 3.0 \int u^{-1.0}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 3.0 \log{\left(u \right)}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 3.0 u^{2.0}\, du = 3.0 \int u^{2.0}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2.0}\, du = 0.333333333333333 u^{3.0}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $1.0 u^{3.0}$

                  El resultado es: $- \frac{6.0}{u^{0.5}} + 1.0 u^{3.0} - 3.0 \log{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6.0}{u^{0.5}} - 1.0 u^{3.0} + 3.0 \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{6.0}{u^{0.333333333333333}} - 1.0 u^{2.0} + 3.0 \log{\left(u^{0.666666666666667} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{6.0}{x^{0.166666666666667}} - 1.0 x^{1.0} + 3.0 \log{\left(x^{0.333333333333333} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6.0}{x^{0.166666666666667}} + 1.0 x^{1.0} - 3.0 \log{\left(x^{0.333333333333333} \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- \sqrt{x} + \left(x^{0.333333333333333} + x^{0.5} x\right)}{\sqrt{x} x} = x^{-1.16666666666667} + 1 - \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{-1.16666666666667}\, dx = - \frac{6.0}{x^{0.166666666666667}}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{6.0}{x^{0.166666666666667}} + x - \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{6.0}{x^{0.166666666666667}} + 1.0 x^{1.0} - 1.0 \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{6.0}{x^{0.166666666666667}} + 1.0 x^{1.0} - 1.0 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{6.0}{x^{0.166666666666667}} + 1.0 x^{1.0} - 1.0 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$