Integral de x^2*ln((x^5+3)/(x^5+2)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \log{\left(\frac{x^{5} + 3}{x^{5} + 2} \right)} = x^{2} \log{\left(\frac{x^{5}}{x^{5} + 2} + \frac{3}{x^{5} + 2} \right)}$

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x^{5}}{x^{5} + 2} + \frac{3}{x^{5} + 2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{- \frac{5 x^{9}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{5} + 2} - \frac{15 x^{4}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}}}{\frac{x^{5}}{x^{5} + 2} + \frac{3}{x^{5} + 2}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{3} \left(- \frac{5 x^{9}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{5} + 2} - \frac{15 x^{4}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}}\right)}{3 \left(\frac{x^{5}}{x^{5} + 2} + \frac{3}{x^{5} + 2}\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3} \left(- \frac{5 x^{9}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{5} + 2} - \frac{15 x^{4}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}}\right)}{\frac{x^{5}}{x^{5} + 2} + \frac{3}{x^{5} + 2}}\, dx}{3}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3} \left(- \frac{5 x^{9}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{5} + 2} - \frac{15 x^{4}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}}\right)}{\frac{x^{5}}{x^{5} + 2} + \frac{3}{x^{5} + 2}} = - \frac{15 x^{2}}{x^{5} + 3} + \frac{10 x^{2}}{x^{5} + 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{15 x^{2}}{x^{5} + 3}\right)\, dx = - 15 \int \frac{x^{2}}{x^{5} + 3}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\operatorname{RootSum} {\left(28125 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(75 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 15 \operatorname{RootSum} {\left(28125 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(75 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{10 x^{2}}{x^{5} + 2}\, dx = 10 \int \frac{x^{2}}{x^{5} + 2}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\operatorname{RootSum} {\left(12500 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(50 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $10 \operatorname{RootSum} {\left(12500 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(50 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

         El resultado es: $- 15 \operatorname{RootSum} {\left(28125 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(75 t^{2} + x \right)} \right)\right)} + 10 \operatorname{RootSum} {\left(12500 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(50 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \operatorname{RootSum} {\left(28125 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(75 t^{2} + x \right)} \right)\right)} + \frac{10 \operatorname{RootSum} {\left(12500 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(50 t^{2} + x \right)} \right)\right)}}{3}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x^{5} + 3}{x^{5} + 2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{5} + 2\right) \left(\frac{5 x^{4}}{x^{5} + 2} - \frac{5 x^{4} \left(x^{5} + 3\right)}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}}\right)}{x^{5} + 3}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{3} \left(x^{5} + 2\right) \left(\frac{5 x^{4}}{x^{5} + 2} - \frac{5 x^{4} \left(x^{5} + 3\right)}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}}\right)}{3 \left(x^{5} + 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3} \left(x^{5} + 2\right) \left(\frac{5 x^{4}}{x^{5} + 2} - \frac{5 x^{4} \left(x^{5} + 3\right)}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}}\right)}{x^{5} + 3}\, dx}{3}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3} \left(x^{5} + 2\right) \left(\frac{5 x^{4}}{x^{5} + 2} - \frac{5 x^{4} \left(x^{5} + 3\right)}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}}\right)}{x^{5} + 3} = - \frac{15 x^{2}}{x^{5} + 3} + \frac{10 x^{2}}{x^{5} + 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{15 x^{2}}{x^{5} + 3}\right)\, dx = - 15 \int \frac{x^{2}}{x^{5} + 3}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\operatorname{RootSum} {\left(28125 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(75 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 15 \operatorname{RootSum} {\left(28125 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(75 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{10 x^{2}}{x^{5} + 2}\, dx = 10 \int \frac{x^{2}}{x^{5} + 2}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\operatorname{RootSum} {\left(12500 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(50 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $10 \operatorname{RootSum} {\left(12500 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(50 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

         El resultado es: $- 15 \operatorname{RootSum} {\left(28125 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(75 t^{2} + x \right)} \right)\right)} + 10 \operatorname{RootSum} {\left(12500 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(50 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \operatorname{RootSum} {\left(28125 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(75 t^{2} + x \right)} \right)\right)} + \frac{10 \operatorname{RootSum} {\left(12500 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(50 t^{2} + x \right)} \right)\right)}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \log{\left(\frac{x^{5} + 3}{x^{5} + 2} \right)} = x^{2} \log{\left(\frac{x^{5}}{x^{5} + 2} + \frac{3}{x^{5} + 2} \right)}$

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x^{5}}{x^{5} + 2} + \frac{3}{x^{5} + 2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{- \frac{5 x^{9}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{5} + 2} - \frac{15 x^{4}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}}}{\frac{x^{5}}{x^{5} + 2} + \frac{3}{x^{5} + 2}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{3} \left(- \frac{5 x^{9}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{5} + 2} - \frac{15 x^{4}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}}\right)}{3 \left(\frac{x^{5}}{x^{5} + 2} + \frac{3}{x^{5} + 2}\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3} \left(- \frac{5 x^{9}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{5} + 2} - \frac{15 x^{4}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}}\right)}{\frac{x^{5}}{x^{5} + 2} + \frac{3}{x^{5} + 2}}\, dx}{3}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3} \left(- \frac{5 x^{9}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{5} + 2} - \frac{15 x^{4}}{\left(x^{5} + 2\right)^{2}}\right)}{\frac{x^{5}}{x^{5} + 2} + \frac{3}{x^{5} + 2}} = - \frac{15 x^{2}}{x^{5} + 3} + \frac{10 x^{2}}{x^{5} + 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{15 x^{2}}{x^{5} + 3}\right)\, dx = - 15 \int \frac{x^{2}}{x^{5} + 3}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\operatorname{RootSum} {\left(28125 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(75 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 15 \operatorname{RootSum} {\left(28125 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(75 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{10 x^{2}}{x^{5} + 2}\, dx = 10 \int \frac{x^{2}}{x^{5} + 2}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\operatorname{RootSum} {\left(12500 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(50 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $10 \operatorname{RootSum} {\left(12500 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(50 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

         El resultado es: $- 15 \operatorname{RootSum} {\left(28125 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(75 t^{2} + x \right)} \right)\right)} + 10 \operatorname{RootSum} {\left(12500 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(50 t^{2} + x \right)} \right)\right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \operatorname{RootSum} {\left(28125 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(75 t^{2} + x \right)} \right)\right)} + \frac{10 \operatorname{RootSum} {\left(12500 t^{5} - 1, \left( t \mapsto t \log{\left(50 t^{2} + x \right)} \right)\right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \log{\left(\frac{x^{5} + 3}{x^{5} + 2} \right)}}{3} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \log{\left(x + \sqrt[5]{2} \right)}}{3} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \log{\left(x + \sqrt[5]{3} \right)}}{3} - \frac{10 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{10}\right) \log{\left(x + 50 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{10}\right)^{2} \right)}}{3} - \frac{10 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{10}\right) \log{\left(x + 50 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{10}\right)^{2} \right)}}{3} + 5 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{15}\right) \log{\left(x + 75 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{15}\right)^{2} \right)} + 5 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{15}\right) \log{\left(x + 75 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{15}\right)^{2} \right)} - \frac{10 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{10}\right) \log{\left(x + 50 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{10}\right)^{2} \right)}}{3} - \frac{10 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{10}\right) \log{\left(x + 50 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{10}\right)^{2} \right)}}{3} + 5 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{15}\right) \log{\left(x + 75 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{15}\right)^{2} \right)} + 5 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{15}\right) \log{\left(x + 75 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{15}\right)^{2} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \log{\left(\frac{x^{5} + 3}{x^{5} + 2} \right)}}{3} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \log{\left(x + \sqrt[5]{2} \right)}}{3} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \log{\left(x + \sqrt[5]{3} \right)}}{3} - \frac{10 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{10}\right) \log{\left(x + 50 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{10}\right)^{2} \right)}}{3} - \frac{10 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{10}\right) \log{\left(x + 50 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{10}\right)^{2} \right)}}{3} + 5 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{15}\right) \log{\left(x + 75 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{15}\right)^{2} \right)} + 5 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{15}\right) \log{\left(x + 75 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{15}\right)^{2} \right)} - \frac{10 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{10}\right) \log{\left(x + 50 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{10}\right)^{2} \right)}}{3} - \frac{10 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{10}\right) \log{\left(x + 50 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{10}\right)^{2} \right)}}{3} + 5 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{15}\right) \log{\left(x + 75 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{15}\right)^{2} \right)} + 5 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{15}\right) \log{\left(x + 75 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{15}\right)^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \log{\left(\frac{x^{5} + 3}{x^{5} + 2} \right)}}{3} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \log{\left(x + \sqrt[5]{2} \right)}}{3} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \log{\left(x + \sqrt[5]{3} \right)}}{3} - \frac{10 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{10}\right) \log{\left(x + 50 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{10}\right)^{2} \right)}}{3} - \frac{10 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{10}\right) \log{\left(x + 50 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{10}\right)^{2} \right)}}{3} + 5 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{15}\right) \log{\left(x + 75 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{15}\right)^{2} \right)} + 5 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{15}\right) \log{\left(x + 75 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{15}\right)^{2} \right)} - \frac{10 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{10}\right) \log{\left(x + 50 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{10}\right)^{2} \right)}}{3} - \frac{10 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{10}\right) \log{\left(x + 50 \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{40} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{40} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{10}\right)^{2} \right)}}{3} + 5 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{15}\right) \log{\left(x + 75 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{15}\right)^{2} \right)} + 5 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{15}\right) \log{\left(x + 75 \left(- \frac{3^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{60} - \frac{3^{\frac{3}{5}}}{60} + \frac{3^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{15}\right)^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$