Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
-
Expresiones idénticas
- dos - dos *ln(x/(x+ cuatro))
- 2 menos 2 multiplicar por ln(x dividir por (x más 4))
- dos menos dos multiplicar por ln(x dividir por (x más cuatro))
- 2-2ln(x/(x+4))
- 2-2lnx/x+4
- 2-2*ln(x dividir por (x+4))
-
Expresiones semejantes
- 2+2*ln(x/(x+4))
- 2-2*ln(x/(x-4))
-
Expresiones con funciones
- ln
- ln(x/(x-2))
- ln(-x)+1
- ln*2x/(x-4)-x
- ln(2x)/(x-4)-x
- ln(x^2+x^3)
Gráfico de la función y = 2-2*ln(x/(x+4))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
f(x) = 2 - 2*log|-----|
\x + 4/
$$f{\left(x \right)} = 2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)}$$
f = 2 - 2*log(x/(x + 4))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{1} = -4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{4 e}{1 - e}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -6.32790682747731$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{4 e}{1 - e}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -6.32790682747731$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \left(x + 4\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 4\right)^{2}} + \frac{1}{x + 4}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \left(x + 4\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 4\right)^{2}} + \frac{1}{x + 4}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x}{x + 4} - 1\right) \left(- \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -4$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x + 4} - 1\right) \left(- \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x + 4} - 1\right) \left(- \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x}{x + 4} - 1\right) \left(- \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -4$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x + 4} - 1\right) \left(- \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x + 4} - 1\right) \left(- \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{1} = -4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2 - 2*log(x/(x + 4)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)} = 2 - 2 \log{\left(- \frac{x}{4 - x} \right)}$$
- No
$$2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)} = 2 \log{\left(- \frac{x}{4 - x} \right)} - 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)} = 2 - 2 \log{\left(- \frac{x}{4 - x} \right)}$$
- No
$$2 - 2 \log{\left(\frac{x}{x + 4} \right)} = 2 \log{\left(- \frac{x}{4 - x} \right)} - 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico