Sr Examen

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ln(2x)/(x-4)-x
Trazado el gráfico de la función/ ln(2x)/(x-4)-x

Gráfico de la función y = ln(2x)/(x-4)-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(2*x)    
f(x) = -------- - x
        x - 4
f(x)=−x+log⁡(2x)x−4f{\left(x \right)} = - x + \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x - 4} 
f = -x + log(2*x)/(x - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=4x_{1} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+log⁡(2x)x−4=0- x + \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.218692238721758x_{1} = 0.218692238721758
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(2*x)/(x - 4) - x.
log⁡(0⋅2)−4−0\frac{\log{\left(0 \cdot 2 \right)}}{-4} - 0
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1−log⁡(2x)(x−4)2+1x(x−4)=0-1 - \frac{\log{\left(2 x \right)}}{\left(x - 4\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x - 4\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(2x)(x−4)2−2x(x−4)−1x2x−4=0\frac{\frac{2 \log{\left(2 x \right)}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 4\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=36667.9617989904x_{1} = 36667.9617989904
x2=1.10808468250909x_{2} = 1.10808468250909
x3=49750.082517267x_{3} = 49750.082517267
x4=54079.2409486521x_{4} = 54079.2409486521
x5=28948.997419595x_{5} = 28948.997419595
x6=52998.2028323785x_{6} = 52998.2028323785
x7=25613.5064958125x_{7} = 25613.5064958125
x8=37764.5890303929x_{8} = 37764.5890303929
x9=41046.7193265638x_{9} = 41046.7193265638
x10=38859.8894768897x_{10} = 38859.8894768897
x11=50833.648576367x_{11} = 50833.648576367
x12=33369.5250720887x_{12} = 33369.5250720887
x13=32266.9724429873x_{13} = 32266.9724429873
x14=44318.2337903713x_{14} = 44318.2337903713
x15=51916.3468112365x_{15} = 51916.3468112365
x16=42138.3447356692x_{16} = 42138.3447356692
x17=24497.2384286511x_{17} = 24497.2384286511
x18=31162.7580258915x_{18} = 31162.7580258915
x19=47580.237362072x_{19} = 47580.237362072
x20=48665.6216211427x_{20} = 48665.6216211427
x21=30056.7971231623x_{21} = 30056.7971231623
x22=39953.9163642546x_{22} = 39953.9163642546
x23=26727.4682610367x_{23} = 26727.4682610367
x24=35569.9505923934x_{24} = 35569.9505923934
x25=46493.8995786993x_{25} = 46493.8995786993
x26=43228.8359932404x_{26} = 43228.8359932404
x27=27839.2580090367x_{27} = 27839.2580090367
x28=34470.4938326197x_{28} = 34470.4938326197
x29=45406.5763389929x_{29} = 45406.5763389929
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=4x_{1} = 4

lim⁡x→4−(2log⁡(2x)(x−4)2−2x(x−4)−1x2x−4)=−∞\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(2 x \right)}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 4\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 4}\right) = -\infty
lim⁡x→4+(2log⁡(2x)(x−4)2−2x(x−4)−1x2x−4)=∞\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(2 x \right)}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 4\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 4}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=4x_{1} = 4
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1.10808468250909]\left(-\infty, 1.10808468250909\right]
Convexa en los intervalos
[1.10808468250909,∞)\left[1.10808468250909, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=4x_{1} = 4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+log⁡(2x)x−4)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x - 4}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+log⁡(2x)x−4)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x + \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x - 4}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(2*x)/(x - 4) - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+log⁡(2x)x−4x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x - 4}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(−x+log⁡(2x)x−4x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x - 4}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+log⁡(2x)x−4=x+log⁡(−2x)−x−4- x + \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x - 4} = x + \frac{\log{\left(- 2 x \right)}}{- x - 4}
- No
−x+log⁡(2x)x−4=−x−log⁡(−2x)−x−4- x + \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x - 4} = - x - \frac{\log{\left(- 2 x \right)}}{- x - 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(2x)/(x-4)-x
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