Sr Examen

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ln(sqrt(2)cosx)
Trazado el gráfico de la función/ ln(sqrt(2)cosx)

Gráfico de la función y = ln(sqrt(2)cosx)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  ___       \
f(x) = log\\/ 2 *cos(x)/
f(x)=log⁡(2cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \cos{\left(x \right)} \right)} 
f = log(sqrt(2)*cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(2cos⁡(x))=0\log{\left(\sqrt{2} \cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=7π4x_{2} = \frac{7 \pi}{4}
Solución numérica
x1=−51.0508806208341x_{1} = -51.0508806208341
x2=7.06858347057703x_{2} = 7.06858347057703
x3=−74.6128255227576x_{3} = -74.6128255227576
x4=13.3517687777566x_{4} = 13.3517687777566
x5=−68.329640215578x_{5} = -68.329640215578
x6=−55.7632696012188x_{6} = -55.7632696012188
x7=95.0331777710912x_{7} = 95.0331777710912
x8=−95.0331777710912x_{8} = -95.0331777710912
x9=−101.316363078271x_{9} = -101.316363078271
x10=−11.7809724509617x_{10} = -11.7809724509617
x11=25.9181393921158x_{11} = 25.9181393921158
x12=18.0641577581413x_{12} = 18.0641577581413
x13=−13.3517687777566x_{13} = -13.3517687777566
x14=−19.6349540849362x_{14} = -19.6349540849362
x15=55.7632696012188x_{15} = 55.7632696012188
x16=−88.7499924639117x_{16} = -88.7499924639117
x17=−49.4800842940392x_{17} = -49.4800842940392
x18=76.1836218495525x_{18} = 76.1836218495525
x19=−87.1791961371168x_{19} = -87.1791961371168
x20=69.9004365423729x_{20} = 69.9004365423729
x21=30.6305283725005x_{21} = 30.6305283725005
x22=88.7499924639117x_{22} = 88.7499924639117
x23=38.484510006475x_{23} = 38.484510006475
x24=32.2013246992954x_{24} = 32.2013246992954
x25=−7.06858347057703x_{25} = -7.06858347057703
x26=24.3473430653209x_{26} = 24.3473430653209
x27=80.8960108299372x_{27} = 80.8960108299372
x28=−44.7676953136546x_{28} = -44.7676953136546
x29=63.6172512351933x_{29} = 63.6172512351933
x30=−43.1968989868597x_{30} = -43.1968989868597
x31=36.9137136796801x_{31} = 36.9137136796801
x32=57.3340659280137x_{32} = 57.3340659280137
x33=0.785398163397448x_{33} = 0.785398163397448
x34=−93.4623814442964x_{34} = -93.4623814442964
x35=44.7676953136546x_{35} = 44.7676953136546
x36=−5.49778714378214x_{36} = -5.49778714378214
x37=68.329640215578x_{37} = 68.329640215578
x38=62.0464549083984x_{38} = 62.0464549083984
x39=−38.484510006475x_{39} = -38.484510006475
x40=74.6128255227576x_{40} = 74.6128255227576
x41=5.49778714378214x_{41} = 5.49778714378214
x42=−36.9137136796801x_{42} = -36.9137136796801
x43=−0.785398163397448x_{43} = -0.785398163397448
x44=43.1968989868597x_{44} = 43.1968989868597
x45=19.6349540849362x_{45} = 19.6349540849362
x46=−18.0641577581413x_{46} = -18.0641577581413
x47=−57.3340659280137x_{47} = -57.3340659280137
x48=−25.9181393921158x_{48} = -25.9181393921158
x49=−76.1836218495525x_{49} = -76.1836218495525
x50=−30.6305283725005x_{50} = -30.6305283725005
x51=99.7455667514759x_{51} = 99.7455667514759
x52=−62.0464549083984x_{52} = -62.0464549083984
x53=−82.4668071567321x_{53} = -82.4668071567321
x54=−63.6172512351933x_{54} = -63.6172512351933
x55=−24.3473430653209x_{55} = -24.3473430653209
x56=51.0508806208341x_{56} = 51.0508806208341
x57=−99.7455667514759x_{57} = -99.7455667514759
x58=82.4668071567321x_{58} = 82.4668071567321
x59=11.7809724509617x_{59} = 11.7809724509617
x60=87.1791961371168x_{60} = 87.1791961371168
x61=−69.9004365423729x_{61} = -69.9004365423729
x62=101.316363078271x_{62} = 101.316363078271
x63=−80.8960108299372x_{63} = -80.8960108299372
x64=−32.2013246992954x_{64} = -32.2013246992954
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sqrt(2)*cos(x)).
log⁡(2cos⁡(0))\log{\left(\sqrt{2} \cos{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(2)f{\left(0 \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \right)}
Punto:
(0, log(sqrt(2)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)cos⁡(x)=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
       /  ___\ 
(0, log\\/ 2 /)

               /  ___\ 
(pi, pi*I + log\\/ 2 /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡2(x)cos⁡2(x)+1)=0- (\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(2cos⁡(x))=log⁡(2⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sqrt{2} \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(2⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(2cos⁡(x))=log⁡(2⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sqrt{2} \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(2⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sqrt(2)*cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{2} \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(2cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{2} \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(2cos⁡(x))=log⁡(2cos⁡(x))\log{\left(\sqrt{2} \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \cos{\left(x \right)} \right)}
- Sí
log⁡(2cos⁡(x))=−log⁡(2cos⁡(x))\log{\left(\sqrt{2} \cos{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(\sqrt{2} \cos{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(sqrt(2)cosx)
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