Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cosx/(1-2sinx)

Gráfico de la función y = cosx/(1-2sinx)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          cos(x)   
f(x) = ------------
       1 - 2*sin(x)
f(x)=cos⁡(x)1−2sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}} 
f = cos(x)/(1 - 2*sin(x))
Gráfico de la función
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0-50005000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.523598775598299x_{1} = 0.523598775598299
x2=2.61799387799149x_{2} = 2.61799387799149
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)1−2sin⁡(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=7.85398163397448x_{1} = 7.85398163397448
x2=−73.8274273593601x_{2} = -73.8274273593601
x3=−54.9778714378214x_{3} = -54.9778714378214
x4=73.8274273593601x_{4} = 73.8274273593601
x5=−26.7035375555132x_{5} = -26.7035375555132
x6=−1.5707963267949x_{6} = -1.5707963267949
x7=−95.8185759344887x_{7} = -95.8185759344887
x8=−39.2699081698724x_{8} = -39.2699081698724
x9=−4.71238898038469x_{9} = -4.71238898038469
x10=14.1371669411541x_{10} = 14.1371669411541
x11=10.9955742875643x_{11} = 10.9955742875643
x12=58.1194640914112x_{12} = 58.1194640914112
x13=70.6858347057703x_{13} = 70.6858347057703
x14=−36.1283155162826x_{14} = -36.1283155162826
x15=54.9778714378214x_{15} = 54.9778714378214
x16=23.5619449019235x_{16} = 23.5619449019235
x17=−92.6769832808989x_{17} = -92.6769832808989
x18=−86.3937979737193x_{18} = -86.3937979737193
x19=−10.9955742875643x_{19} = -10.9955742875643
x20=92.6769832808989x_{20} = 92.6769832808989
x21=39.2699081698724x_{21} = 39.2699081698724
x22=−32.9867228626928x_{22} = -32.9867228626928
x23=98.9601685880785x_{23} = 98.9601685880785
x24=36.1283155162826x_{24} = 36.1283155162826
x25=−7.85398163397448x_{25} = -7.85398163397448
x26=−58.1194640914112x_{26} = -58.1194640914112
x27=−67.5442420521806x_{27} = -67.5442420521806
x28=−61.261056745001x_{28} = -61.261056745001
x29=26.7035375555132x_{29} = 26.7035375555132
x30=86.3937979737193x_{30} = 86.3937979737193
x31=−48.6946861306418x_{31} = -48.6946861306418
x32=51.8362787842316x_{32} = 51.8362787842316
x33=−42.4115008234622x_{33} = -42.4115008234622
x34=−89.5353906273091x_{34} = -89.5353906273091
x35=−98.9601685880785x_{35} = -98.9601685880785
x36=−14.1371669411541x_{36} = -14.1371669411541
x37=80.1106126665397x_{37} = 80.1106126665397
x38=−64.4026493985908x_{38} = -64.4026493985908
x39=95.8185759344887x_{39} = 95.8185759344887
x40=1.5707963267949x_{40} = 1.5707963267949
x41=45.553093477052x_{41} = 45.553093477052
x42=−17.2787595947439x_{42} = -17.2787595947439
x43=4.71238898038469x_{43} = 4.71238898038469
x44=48.6946861306418x_{44} = 48.6946861306418
x45=76.9690200129499x_{45} = 76.9690200129499
x46=−45.553093477052x_{46} = -45.553093477052
x47=20.4203522483337x_{47} = 20.4203522483337
x48=17.2787595947439x_{48} = 17.2787595947439
x49=−83.2522053201295x_{49} = -83.2522053201295
x50=−20.4203522483337x_{50} = -20.4203522483337
x51=−80.1106126665397x_{51} = -80.1106126665397
x52=61.261056745001x_{52} = 61.261056745001
x53=32.9867228626928x_{53} = 32.9867228626928
x54=64.4026493985908x_{54} = 64.4026493985908
x55=−23.5619449019235x_{55} = -23.5619449019235
x56=29.845130209103x_{56} = 29.845130209103
x57=42.4115008234622x_{57} = 42.4115008234622
x58=89.5353906273091x_{58} = 89.5353906273091
x59=−51.8362787842316x_{59} = -51.8362787842316
x60=−70.6858347057703x_{60} = -70.6858347057703
x61=83.2522053201295x_{61} = 83.2522053201295
x62=67.5442420521806x_{62} = 67.5442420521806
x63=−29.845130209103x_{63} = -29.845130209103
x64=−76.9690200129499x_{64} = -76.9690200129499
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)/(1 - 2*sin(x)).
cos⁡(0)1−2sin⁡(0)\frac{\cos{\left(0 \right)}}{1 - 2 \sin{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)1−2sin⁡(x)+2cos⁡2(x)(1−2sin⁡(x))2=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(1 - 2 \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−2(sin⁡(x)+4cos⁡2(x)2sin⁡(x)−1)2sin⁡(x)−1+1−4sin⁡(x)2sin⁡(x)−1)cos⁡(x)2sin⁡(x)−1=0\frac{\left(- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0.523598775598299x_{1} = 0.523598775598299
x2=2.61799387799149x_{2} = 2.61799387799149

lim⁡x→0.523598775598299−((−2(sin⁡(x)+4cos⁡2(x)2sin⁡(x)−1)2sin⁡(x)−1+1−4sin⁡(x)2sin⁡(x)−1)cos⁡(x)2sin⁡(x)−1)=∞\lim_{x \to 0.523598775598299^-}\left(\frac{\left(- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right) = \infty
lim⁡x→0.523598775598299+((−2(sin⁡(x)+4cos⁡2(x)2sin⁡(x)−1)2sin⁡(x)−1+1−4sin⁡(x)2sin⁡(x)−1)cos⁡(x)2sin⁡(x)−1)=−∞\lim_{x \to 0.523598775598299^+}\left(\frac{\left(- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0.523598775598299x_{1} = 0.523598775598299
- es el punto de flexión
lim⁡x→2.61799387799149−((−2(sin⁡(x)+4cos⁡2(x)2sin⁡(x)−1)2sin⁡(x)−1+1−4sin⁡(x)2sin⁡(x)−1)cos⁡(x)2sin⁡(x)−1)=−3.79709263680334⋅1048\lim_{x \to 2.61799387799149^-}\left(\frac{\left(- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right) = -3.79709263680334 \cdot 10^{48}
lim⁡x→2.61799387799149+((−2(sin⁡(x)+4cos⁡2(x)2sin⁡(x)−1)2sin⁡(x)−1+1−4sin⁡(x)2sin⁡(x)−1)cos⁡(x)2sin⁡(x)−1)=−3.79709263680334⋅1048\lim_{x \to 2.61799387799149^+}\left(\frac{\left(- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} - 1} + 1 - \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} - 1}\right) = -3.79709263680334 \cdot 10^{48}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.523598775598299x_{1} = 0.523598775598299
x2=2.61799387799149x_{2} = 2.61799387799149
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(cos⁡(x)1−2sin⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(cos⁡(x)1−2sin⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/(1 - 2*sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cos⁡(x)x(1−2sin⁡(x)))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(1 - 2 \sin{\left(x \right)}\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cos⁡(x)x(1−2sin⁡(x)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(1 - 2 \sin{\left(x \right)}\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)1−2sin⁡(x)=cos⁡(x)2sin⁡(x)+1\frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}
- No
cos⁡(x)1−2sin⁡(x)=−cos⁡(x)2sin⁡(x)+1\frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - 2 \sin{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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