Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cosx-sinx-1

Gráfico de la función y = cosx-sinx-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x) - sin(x) - 1
f(x)=(−sin⁡(x)+cos⁡(x))−1f{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 
f = -sin(x) + cos(x) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−sin⁡(x)+cos⁡(x))−1=0\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=12.5663706143592x_{1} = 12.5663706143592
x2=37.6991118430775x_{2} = 37.6991118430775
x3=23.5619449019235x_{3} = 23.5619449019235
x4=205.774318810131x_{4} = 205.774318810131
x5=−31.4159265358979x_{5} = -31.4159265358979
x6=−20.4203522483337x_{6} = -20.4203522483337
x7=0x_{7} = 0
x8=2475.57501102876x_{8} = 2475.57501102876
x9=−50.2654824574367x_{9} = -50.2654824574367
x10=−94.2477796076938x_{10} = -94.2477796076938
x11=6.28318530717959x_{11} = 6.28318530717959
x12=−39.2699081698724x_{12} = -39.2699081698724
x13=−69.1150383789755x_{13} = -69.1150383789755
x14=86.3937979737193x_{14} = 86.3937979737193
x15=69.1150383789755x_{15} = 69.1150383789755
x16=177939.807899326x_{16} = 177939.807899326
x17=98.9601685880785x_{17} = 98.9601685880785
x18=62.8318530717959x_{18} = 62.8318530717959
x19=576.482251933727x_{19} = 576.482251933727
x20=50.2654824574367x_{20} = 50.2654824574367
x21=81.6814089933346x_{21} = 81.6814089933346
x22=−89.5353906273091x_{22} = -89.5353906273091
x23=100.530964914873x_{23} = 100.530964914873
x24=−87.9645943005142x_{24} = -87.9645943005142
x25=48.6946861306418x_{25} = 48.6946861306418
x26=−64.4026493985908x_{26} = -64.4026493985908
x27=−62.8318530717959x_{27} = -62.8318530717959
x28=67.5442420521806x_{28} = 67.5442420521806
x29=−18.8495559215388x_{29} = -18.8495559215388
x30=−70.6858347057703x_{30} = -70.6858347057703
x31=−26.7035375555132x_{31} = -26.7035375555132
x32=42.4115008234622x_{32} = 42.4115008234622
x33=−32.9867228626928x_{33} = -32.9867228626928
x34=−56.5486677646163x_{34} = -56.5486677646163
x35=4.71238898038469x_{35} = 4.71238898038469
x36=73.8274273593601x_{36} = 73.8274273593601
x37=−37.6991118430775x_{37} = -37.6991118430775
x38=−25.1327412287183x_{38} = -25.1327412287183
x39=−100.530964914873x_{39} = -100.530964914873
x40=−95.8185759344887x_{40} = -95.8185759344887
x41=−7.85398163397448x_{41} = -7.85398163397448
x42=−75.398223686155x_{42} = -75.398223686155
x43=18.8495559215388x_{43} = 18.8495559215388
x44=87.9645943005142x_{44} = 87.9645943005142
x45=213.628300444106x_{45} = 213.628300444106
x46=−6.28318530717959x_{46} = -6.28318530717959
x47=−83.2522053201295x_{47} = -83.2522053201295
x48=25.1327412287183x_{48} = 25.1327412287183
x49=−1.5707963267949x_{49} = -1.5707963267949
x50=−58.1194640914112x_{50} = -58.1194640914112
x51=29.845130209103x_{51} = 29.845130209103
x52=56.5486677646163x_{52} = 56.5486677646163
x53=−43.9822971502571x_{53} = -43.9822971502571
x54=80.1106126665397x_{54} = 80.1106126665397
x55=54.9778714378214x_{55} = 54.9778714378214
x56=31.4159265358979x_{56} = 31.4159265358979
x57=94.2477796076938x_{57} = 94.2477796076938
x58=−125.663706143592x_{58} = -125.663706143592
x59=−76.9690200129499x_{59} = -76.9690200129499
x60=−12.5663706143592x_{60} = -12.5663706143592
x61=75.398223686155x_{61} = 75.398223686155
x62=36.1283155162826x_{62} = 36.1283155162826
x63=61.261056745001x_{63} = 61.261056745001
x64=92.6769832808989x_{64} = 92.6769832808989
x65=17.2787595947439x_{65} = 17.2787595947439
x66=10.9955742875643x_{66} = 10.9955742875643
x67=−51.8362787842316x_{67} = -51.8362787842316
x68=−45.553093477052x_{68} = -45.553093477052
x69=−81.6814089933346x_{69} = -81.6814089933346
x70=43.9822971502571x_{70} = 43.9822971502571
x71=−14.1371669411541x_{71} = -14.1371669411541
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) - sin(x) - 1.
−1+(−sin⁡(0)+cos⁡(0))-1 + \left(- \sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)−cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi          ___ 
(----, -1 + \/ 2 )
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(x)−cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(x)+cos⁡(x))−1)=⟨−3,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
lim⁡x→∞((−sin⁡(x)+cos⁡(x))−1)=⟨−3,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) - sin(x) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(x)+cos⁡(x))−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−sin⁡(x)+cos⁡(x))−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−sin⁡(x)+cos⁡(x))−1=sin⁡(x)+cos⁡(x)−1\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1
- No
(−sin⁡(x)+cos⁡(x))−1=−sin⁡(x)−cos⁡(x)+1\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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