Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx/(1-x^(sin2x))

Gráfico de la función y = sinx/(1-x^(sin2x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           sin(x)   
f(x) = -------------
            sin(2*x)
       1 - x
f(x)=sin⁡(x)1−xsin⁡(2x)f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - x^{\sin{\left(2 x \right)}}} 
f = sin(x)/(1 - x^sin(2*x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=1.5707963267949x_{3} = 1.5707963267949
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)1−xsin⁡(2x)=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - x^{\sin{\left(2 x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)/(1 - x^sin(2*x)).
sin⁡(0)1−0sin⁡(0⋅2)\frac{\sin{\left(0 \right)}}{1 - 0^{\sin{\left(0 \cdot 2 \right)}}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xsin⁡(2x)(2log⁡(x)cos⁡(2x)+sin⁡(2x)x)sin⁡(x)(1−xsin⁡(2x))2+cos⁡(x)1−xsin⁡(2x)=0\frac{x^{\sin{\left(2 x \right)}} \left(2 \log{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - x^{\sin{\left(2 x \right)}}\right)^{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - x^{\sin{\left(2 x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=82.4038352557871x_{1} = 82.4038352557871
x2=98.1142826443312x_{2} = 98.1142826443312
x3=32.1213376285802x_{3} = 32.1213376285802
x4=25.8331621703934x_{4} = 25.8331621703934
x5=88.6880882357924x_{5} = 88.6880882357924
x6=10.0984573106424x_{6} = 10.0984573106424
x7=22.688376814881x_{7} = 22.688376814881
x8=66.6926131603889x_{8} = 66.6926131603889
x9=79.2616647383832x_{9} = 79.2616647383832
x10=28.977441954491x_{10} = 28.977441954491
x11=54.1227320877115x_{11} = 54.1227320877115
x12=69.8349394870016x_{12} = 69.8349394870016
x13=76.1194609879411x_{13} = 76.1194609879411
x14=85.5459755437381x_{14} = 85.5459755437381
x15=72.9772205609174x_{15} = 72.9772205609174
x16=94.9722398467441x_{16} = 94.9722398467441
x17=60.407802285196x_{17} = 60.407802285196
x18=41.5514528951023x_{18} = 41.5514528951023
x19=47.8373223597245x_{19} = 47.8373223597245
x20=35.264933584737x_{20} = 35.264933584737
x21=16.3964593350443x_{21} = 16.3964593350443
x22=63.5502362022843x_{22} = 63.5502362022843
x23=44.6944548349692x_{23} = 44.6944548349692
x24=3.79639521242752x_{24} = 3.79639521242752
x25=19.542904112166x_{25} = 19.542904112166
x26=91.8301756522719x_{26} = 91.8301756522719
x27=38.4082904241861x_{27} = 38.4082904241861
x28=13.2485741745106x_{28} = 13.2485741745106
x29=6.94505499859768x_{29} = 6.94505499859768
x30=50.9800759868175x_{30} = 50.9800759868175
Signos de extremos en los puntos:
(82.4038352557871, -0.00841506270414847)

(98.11428264433117, 0.00706292314701517)

(32.12133762858018, -0.0218082780251484)

(25.83316217039337, -0.0272523004941151)

(88.6880882357924, -0.00781637097727592)

(10.098457310642445, 0.0731006196868969)

(22.688376814881043, 0.0311452709647298)

(66.69261316038886, 0.0104096668935873)

(79.26166473838323, 0.00875026022480472)

(28.977441954491017, 0.0242271159032917)

(54.12273208771151, 0.0128486095838232)

(69.83493948700163, -0.00993833842033367)

(76.11946098794105, -0.00911333913064562)

(85.54597554373805, 0.00810465080842108)

(72.97722056091737, 0.00950793355339656)

(94.97223984674407, -0.0072973619575425)

(60.40780228519598, 0.0115009315947384)

(41.55145289510226, 0.0167867968761203)

(47.83732235972451, 0.0145552897392827)

(35.264933584737, 0.0198298648803546)

(16.39645933504432, 0.0436386339137017)

(63.55023620228426, -0.0109280550986997)

(44.694454834969235, -0.0155913677237992)

(3.796395212427523, 0.231696666777334)

(19.542904112165953, -0.0363434365004319)

(91.83017565227192, 0.00754793558863811)

(38.40829042418608, -0.0181814776792244)

(13.24857417451057, -0.0546288090160298)

(6.9450549985976755, -0.110774152562523)

(50.980075986817546, -0.0136486565135461)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=98.1142826443312x_{1} = 98.1142826443312
x2=10.0984573106424x_{2} = 10.0984573106424
x3=22.688376814881x_{3} = 22.688376814881
x4=66.6926131603889x_{4} = 66.6926131603889
x5=79.2616647383832x_{5} = 79.2616647383832
x6=28.977441954491x_{6} = 28.977441954491
x7=54.1227320877115x_{7} = 54.1227320877115
x8=85.5459755437381x_{8} = 85.5459755437381
x9=72.9772205609174x_{9} = 72.9772205609174
x10=60.407802285196x_{10} = 60.407802285196
x11=41.5514528951023x_{11} = 41.5514528951023
x12=47.8373223597245x_{12} = 47.8373223597245
x13=35.264933584737x_{13} = 35.264933584737
x14=16.3964593350443x_{14} = 16.3964593350443
x15=3.79639521242752x_{15} = 3.79639521242752
x16=91.8301756522719x_{16} = 91.8301756522719
Puntos máximos de la función:
x16=82.4038352557871x_{16} = 82.4038352557871
x16=32.1213376285802x_{16} = 32.1213376285802
x16=25.8331621703934x_{16} = 25.8331621703934
x16=88.6880882357924x_{16} = 88.6880882357924
x16=69.8349394870016x_{16} = 69.8349394870016
x16=76.1194609879411x_{16} = 76.1194609879411
x16=94.9722398467441x_{16} = 94.9722398467441
x16=63.5502362022843x_{16} = 63.5502362022843
x16=44.6944548349692x_{16} = 44.6944548349692
x16=19.542904112166x_{16} = 19.542904112166
x16=38.4082904241861x_{16} = 38.4082904241861
x16=13.2485741745106x_{16} = 13.2485741745106
x16=6.94505499859768x_{16} = 6.94505499859768
x16=50.9800759868175x_{16} = 50.9800759868175
Decrece en los intervalos
[98.1142826443312,∞)\left[98.1142826443312, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,3.79639521242752]\left(-\infty, 3.79639521242752\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=1.5707963267949x_{3} = 1.5707963267949
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)1−xsin⁡(2x))=⟨−1,1⟩1−(−∞)⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - x^{\sin{\left(2 x \right)}}}\right) = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{1 - \left(-\infty\right)^{\left\langle -1, 1\right\rangle}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩1−(−∞)⟨−1,1⟩y = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{1 - \left(-\infty\right)^{\left\langle -1, 1\right\rangle}}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(sin⁡(x)1−xsin⁡(2x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - x^{\sin{\left(2 x \right)}}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/(1 - x^sin(2*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)x(1−xsin⁡(2x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(1 - x^{\sin{\left(2 x \right)}}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(sin⁡(x)x(1−xsin⁡(2x)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(1 - x^{\sin{\left(2 x \right)}}\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)1−xsin⁡(2x)=−sin⁡(x)1−(−x)−sin⁡(2x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - x^{\sin{\left(2 x \right)}}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \left(- x\right)^{- \sin{\left(2 x \right)}}}
- No
sin⁡(x)1−xsin⁡(2x)=sin⁡(x)1−(−x)−sin⁡(2x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - x^{\sin{\left(2 x \right)}}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \left(- x\right)^{- \sin{\left(2 x \right)}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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