Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx+cosx^2

Gráfico de la función y = sinx+cosx^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   2   
f(x) = sin(x) + cos (x)
f(x)=sin⁡(x)+cos⁡2(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} 
f = sin(x) + cos(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)+cos⁡2(x)=0\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2atan⁡(12+52+21+52)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}
x2=−2atan⁡(−21+52+12+52)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
Solución numérica
x1=49.5992430249442x_{1} = 49.5992430249442
x2=18.1833164890462x_{2} = 18.1833164890462
x3=22.6573880076211x_{3} = 22.6573880076211
x4=60.3564998506986x_{4} = 60.3564998506986
x5=93.5815401752013x_{5} = 93.5815401752013
x6=11.9001311818667x_{6} = 11.9001311818667
x7=−52.740835678534x_{7} = -52.740835678534
x8=81.0151695608421x_{8} = 81.0151695608421
x9=62.1656136393034x_{9} = 62.1656136393034
x10=−15.0417238354565x_{10} = -15.0417238354565
x11=66.6396851578782x_{11} = 66.6396851578782
x12=−71.5903916000727x_{12} = -71.5903916000727
x13=55.8824283321238x_{13} = 55.8824283321238
x14=−44.6485365827496x_{14} = -44.6485365827496
x15=−76.0644631186476x_{15} = -76.0644631186476
x16=3.80783208608231x_{16} = 3.80783208608231
x17=30.7496871034054x_{17} = 30.7496871034054
x18=87.2983548680217x_{18} = 87.2983548680217
x19=43.3160577177646x_{19} = 43.3160577177646
x20=−21.324909142636x_{20} = -21.324909142636
x21=−57.2149071971088x_{21} = -57.2149071971088
x22=85.4892410794169x_{22} = 85.4892410794169
x23=28.9405733148007x_{23} = 28.9405733148007
x24=−13.2326100468517x_{24} = -13.2326100468517
x25=−90.4399475216115x_{25} = -90.4399475216115
x26=10.0910173932619x_{26} = 10.0910173932619
x27=−77.8735769072523x_{27} = -77.8735769072523
x28=99.8647254823809x_{28} = 99.8647254823809
x29=−84.1567622144319x_{29} = -84.1567622144319
x30=−38.36535127557x_{30} = -38.36535127557
x31=98.0556116937761x_{31} = 98.0556116937761
x32=−0.666239432492515x_{32} = -0.666239432492515
x33=−33.8912797569952x_{33} = -33.8912797569952
x34=−25.7989806612109x_{34} = -25.7989806612109
x35=−65.3072062928931x_{35} = -65.3072062928931
x36=−63.4980925042884x_{36} = -63.4980925042884
x37=−82.3476484258271x_{37} = -82.3476484258271
x38=72.9228704650578x_{38} = 72.9228704650578
x39=−32.0821659683904x_{39} = -32.0821659683904
x40=−94.9140190401863x_{40} = -94.9140190401863
x41=74.7319842536625x_{41} = 74.7319842536625
x42=13405.8420923001x_{42} = 13405.8420923001
x43=−8.75853852827686x_{43} = -8.75853852827686
x44=68.4487989464829x_{44} = 68.4487989464829
x45=24.4665017962258x_{45} = 24.4665017962258
x46=−88.6308337330067x_{46} = -88.6308337330067
x47=−46.4576503713544x_{47} = -46.4576503713544
x48=−27.6080944498156x_{48} = -27.6080944498156
x49=16.3742027004415x_{49} = 16.3742027004415
x50=47.7901292363394x_{50} = 47.7901292363394
x51=91.7724263865965x_{51} = 91.7724263865965
x52=−40.1744650641748x_{52} = -40.1744650641748
x53=41.5069439291598x_{53} = 41.5069439291598
x54=54.073314543519x_{54} = 54.073314543519
x55=−1917.03775812227x_{55} = -1917.03775812227
x56=−59.0240209857136x_{56} = -59.0240209857136
x57=−2.47535322109728x_{57} = -2.47535322109728
x58=−69.781277811468x_{58} = -69.781277811468
x59=5.61694587468707x_{59} = 5.61694587468707
x60=−19.5157953540313x_{60} = -19.5157953540313
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + cos(x)^2.
sin⁡(0)+cos⁡2(0)\sin{\left(0 \right)} + \cos^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=5π6x_{4} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      
(----, -1)
  2       

 pi      
(--, 5/4)
 6       

 pi    
(--, 1)
 2     

 5*pi      
(----, 5/4)
  6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}
Decrece en los intervalos
[−π2,π6]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡2(x)−sin⁡(x)−2cos⁡2(x)=02 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(−14+29−334+334)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}
x2=−2atan⁡(14+233+94+334)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}
x3=−2atan⁡(−334+14+29−334)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}
x4=−2atan⁡(−233+94+14+334)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2atan⁡(14+233+94+334),−2atan⁡(−233+94+14+334)]∪[−2atan⁡(−334+14+29−334),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(14+233+94+334)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+cos⁡2(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+cos⁡2(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)+cos⁡2(x)=−sin⁡(x)+cos⁡2(x)\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)+cos⁡2(x)=sin⁡(x)−cos⁡2(x)\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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