Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2-x+5
-
(x+1)*(x-2)^2
-
x*(-1-log(x))
-
-sqrt(1-x^2)
-
Expresiones idénticas
- sinx+cosx^ dos
- seno de x más coseno de x al cuadrado
- seno de x más coseno de x en el grado dos
- sinx+cosx2
- sinx+cosx²
- sinx+cosx en el grado 2
-
Expresiones semejantes
- sinx-cosx^2
-
Expresiones con funciones
- sinx
- sinx+sin^5(2x)
- sinx/(1-x)
- sinx^2-cosx
- sinx(π/2)
- sinx*sinx+cosx
- cosx
- cosx+5x
- cosx+|lnx+1.5|-3
- cosx/2+1/2
- cosx-x^3+2
- cosx+x*sinx
Gráfico de la función y = sinx+cosx^2
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(x) = sin(x) + cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
f = sin(x) + cos(x)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 49.5992430249442$$
$$x_{2} = 18.1833164890462$$
$$x_{3} = 22.6573880076211$$
$$x_{4} = 60.3564998506986$$
$$x_{5} = 93.5815401752013$$
$$x_{6} = 11.9001311818667$$
$$x_{7} = -52.740835678534$$
$$x_{8} = 81.0151695608421$$
$$x_{9} = 62.1656136393034$$
$$x_{10} = -15.0417238354565$$
$$x_{11} = 66.6396851578782$$
$$x_{12} = -71.5903916000727$$
$$x_{13} = 55.8824283321238$$
$$x_{14} = -44.6485365827496$$
$$x_{15} = -76.0644631186476$$
$$x_{16} = 3.80783208608231$$
$$x_{17} = 30.7496871034054$$
$$x_{18} = 87.2983548680217$$
$$x_{19} = 43.3160577177646$$
$$x_{20} = -21.324909142636$$
$$x_{21} = -57.2149071971088$$
$$x_{22} = 85.4892410794169$$
$$x_{23} = 28.9405733148007$$
$$x_{24} = -13.2326100468517$$
$$x_{25} = -90.4399475216115$$
$$x_{26} = 10.0910173932619$$
$$x_{27} = -77.8735769072523$$
$$x_{28} = 99.8647254823809$$
$$x_{29} = -84.1567622144319$$
$$x_{30} = -38.36535127557$$
$$x_{31} = 98.0556116937761$$
$$x_{32} = -0.666239432492515$$
$$x_{33} = -33.8912797569952$$
$$x_{34} = -25.7989806612109$$
$$x_{35} = -65.3072062928931$$
$$x_{36} = -63.4980925042884$$
$$x_{37} = -82.3476484258271$$
$$x_{38} = 72.9228704650578$$
$$x_{39} = -32.0821659683904$$
$$x_{40} = -94.9140190401863$$
$$x_{41} = 74.7319842536625$$
$$x_{42} = 13405.8420923001$$
$$x_{43} = -8.75853852827686$$
$$x_{44} = 68.4487989464829$$
$$x_{45} = 24.4665017962258$$
$$x_{46} = -88.6308337330067$$
$$x_{47} = -46.4576503713544$$
$$x_{48} = -27.6080944498156$$
$$x_{49} = 16.3742027004415$$
$$x_{50} = 47.7901292363394$$
$$x_{51} = 91.7724263865965$$
$$x_{52} = -40.1744650641748$$
$$x_{53} = 41.5069439291598$$
$$x_{54} = 54.073314543519$$
$$x_{55} = -1917.03775812227$$
$$x_{56} = -59.0240209857136$$
$$x_{57} = -2.47535322109728$$
$$x_{58} = -69.781277811468$$
$$x_{59} = 5.61694587468707$$
$$x_{60} = -19.5157953540313$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 49.5992430249442$$
$$x_{2} = 18.1833164890462$$
$$x_{3} = 22.6573880076211$$
$$x_{4} = 60.3564998506986$$
$$x_{5} = 93.5815401752013$$
$$x_{6} = 11.9001311818667$$
$$x_{7} = -52.740835678534$$
$$x_{8} = 81.0151695608421$$
$$x_{9} = 62.1656136393034$$
$$x_{10} = -15.0417238354565$$
$$x_{11} = 66.6396851578782$$
$$x_{12} = -71.5903916000727$$
$$x_{13} = 55.8824283321238$$
$$x_{14} = -44.6485365827496$$
$$x_{15} = -76.0644631186476$$
$$x_{16} = 3.80783208608231$$
$$x_{17} = 30.7496871034054$$
$$x_{18} = 87.2983548680217$$
$$x_{19} = 43.3160577177646$$
$$x_{20} = -21.324909142636$$
$$x_{21} = -57.2149071971088$$
$$x_{22} = 85.4892410794169$$
$$x_{23} = 28.9405733148007$$
$$x_{24} = -13.2326100468517$$
$$x_{25} = -90.4399475216115$$
$$x_{26} = 10.0910173932619$$
$$x_{27} = -77.8735769072523$$
$$x_{28} = 99.8647254823809$$
$$x_{29} = -84.1567622144319$$
$$x_{30} = -38.36535127557$$
$$x_{31} = 98.0556116937761$$
$$x_{32} = -0.666239432492515$$
$$x_{33} = -33.8912797569952$$
$$x_{34} = -25.7989806612109$$
$$x_{35} = -65.3072062928931$$
$$x_{36} = -63.4980925042884$$
$$x_{37} = -82.3476484258271$$
$$x_{38} = 72.9228704650578$$
$$x_{39} = -32.0821659683904$$
$$x_{40} = -94.9140190401863$$
$$x_{41} = 74.7319842536625$$
$$x_{42} = 13405.8420923001$$
$$x_{43} = -8.75853852827686$$
$$x_{44} = 68.4487989464829$$
$$x_{45} = 24.4665017962258$$
$$x_{46} = -88.6308337330067$$
$$x_{47} = -46.4576503713544$$
$$x_{48} = -27.6080944498156$$
$$x_{49} = 16.3742027004415$$
$$x_{50} = 47.7901292363394$$
$$x_{51} = 91.7724263865965$$
$$x_{52} = -40.1744650641748$$
$$x_{53} = 41.5069439291598$$
$$x_{54} = 54.073314543519$$
$$x_{55} = -1917.03775812227$$
$$x_{56} = -59.0240209857136$$
$$x_{57} = -2.47535322109728$$
$$x_{58} = -69.781277811468$$
$$x_{59} = 5.61694587468707$$
$$x_{60} = -19.5157953540313$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
-pi (----, -1) 2
pi (--, 5/4) 6
pi (--, 1) 2
5*pi (----, 5/4) 6
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar