Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
- Forma canónica:
- sinx-cosx^2
-
Expresiones idénticas
- sinx-cosx^ dos
- seno de x menos coseno de x al cuadrado
- seno de x menos coseno de x en el grado dos
- sinx-cosx2
- sinx-cosx²
- sinx-cosx en el grado 2
-
Expresiones semejantes
- sinx+cosx^2
-
Expresiones con funciones
- sinx
- sinx\x
- sinx/(1-2cosx)
- sinx+π+1
- sinx(x^2+3)
- sinx+sin^5(2x)
- cosx
- cosx+5x
- cosx+(1/2)sin^2(2x)
- cosx-x^3+2
- cosx×ctgx
- cosx-sinx-1
Gráfico de la función y = sinx-cosx^2
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(x) = sin(x) - cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
f = sin(x) - cos(x)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -30.7496871034054$$
$$x_{2} = 65.3072062928931$$
$$x_{3} = -72.9228704650578$$
$$x_{4} = 25.7989806612109$$
$$x_{5} = 38.36535127557$$
$$x_{6} = -62.1656136393034$$
$$x_{7} = 77.8735769072523$$
$$x_{8} = 32.0821659683904$$
$$x_{9} = 84.1567622144319$$
$$x_{10} = -87.2983548680217$$
$$x_{11} = 15.0417238354565$$
$$x_{12} = -35.2237586219802$$
$$x_{13} = -11.9001311818667$$
$$x_{14} = 94.9140190401863$$
$$x_{15} = -81.0151695608421$$
$$x_{16} = -37.032872410585$$
$$x_{17} = 8.75853852827686$$
$$x_{18} = 0.666239432492515$$
$$x_{19} = 96.7231328287911$$
$$x_{20} = -49.5992430249442$$
$$x_{21} = -60.3564998506986$$
$$x_{22} = 71.5903916000727$$
$$x_{23} = 103.006318135971$$
$$x_{24} = 44.6485365827496$$
$$x_{25} = 27.6080944498156$$
$$x_{26} = -68.4487989464829$$
$$x_{27} = 46.4576503713544$$
$$x_{28} = -98.0556116937761$$
$$x_{29} = 6.9494247396721$$
$$x_{30} = 76.0644631186476$$
$$x_{31} = -79.2060557722373$$
$$x_{32} = -55.8824283321238$$
$$x_{33} = -269.51072877623$$
$$x_{34} = -93.5815401752013$$
$$x_{35} = -3.80783208608231$$
$$x_{36} = -18.1833164890462$$
$$x_{37} = 90.4399475216115$$
$$x_{38} = -22.6573880076211$$
$$x_{39} = -16.3742027004415$$
$$x_{40} = 2.47535322109728$$
$$x_{41} = 52.740835678534$$
$$x_{42} = -10.0910173932619$$
$$x_{43} = -43.3160577177646$$
$$x_{44} = 63.4980925042884$$
$$x_{45} = -5.61694587468707$$
$$x_{46} = 21.324909142636$$
$$x_{47} = -85.4892410794169$$
$$x_{48} = -47.7901292363394$$
$$x_{49} = 82.3476484258271$$
$$x_{50} = 50.9317218899292$$
$$x_{51} = -41.5069439291598$$
$$x_{52} = 69.781277811468$$
$$x_{53} = 33.8912797569952$$
$$x_{54} = -91.7724263865965$$
$$x_{55} = -99.8647254823809$$
$$x_{56} = -54.073314543519$$
$$x_{57} = 19.5157953540313$$
$$x_{58} = 40.1744650641748$$
$$x_{59} = -24.4665017962258$$
$$x_{60} = 88.6308337330067$$
$$x_{61} = -66.6396851578782$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -30.7496871034054$$
$$x_{2} = 65.3072062928931$$
$$x_{3} = -72.9228704650578$$
$$x_{4} = 25.7989806612109$$
$$x_{5} = 38.36535127557$$
$$x_{6} = -62.1656136393034$$
$$x_{7} = 77.8735769072523$$
$$x_{8} = 32.0821659683904$$
$$x_{9} = 84.1567622144319$$
$$x_{10} = -87.2983548680217$$
$$x_{11} = 15.0417238354565$$
$$x_{12} = -35.2237586219802$$
$$x_{13} = -11.9001311818667$$
$$x_{14} = 94.9140190401863$$
$$x_{15} = -81.0151695608421$$
$$x_{16} = -37.032872410585$$
$$x_{17} = 8.75853852827686$$
$$x_{18} = 0.666239432492515$$
$$x_{19} = 96.7231328287911$$
$$x_{20} = -49.5992430249442$$
$$x_{21} = -60.3564998506986$$
$$x_{22} = 71.5903916000727$$
$$x_{23} = 103.006318135971$$
$$x_{24} = 44.6485365827496$$
$$x_{25} = 27.6080944498156$$
$$x_{26} = -68.4487989464829$$
$$x_{27} = 46.4576503713544$$
$$x_{28} = -98.0556116937761$$
$$x_{29} = 6.9494247396721$$
$$x_{30} = 76.0644631186476$$
$$x_{31} = -79.2060557722373$$
$$x_{32} = -55.8824283321238$$
$$x_{33} = -269.51072877623$$
$$x_{34} = -93.5815401752013$$
$$x_{35} = -3.80783208608231$$
$$x_{36} = -18.1833164890462$$
$$x_{37} = 90.4399475216115$$
$$x_{38} = -22.6573880076211$$
$$x_{39} = -16.3742027004415$$
$$x_{40} = 2.47535322109728$$
$$x_{41} = 52.740835678534$$
$$x_{42} = -10.0910173932619$$
$$x_{43} = -43.3160577177646$$
$$x_{44} = 63.4980925042884$$
$$x_{45} = -5.61694587468707$$
$$x_{46} = 21.324909142636$$
$$x_{47} = -85.4892410794169$$
$$x_{48} = -47.7901292363394$$
$$x_{49} = 82.3476484258271$$
$$x_{50} = 50.9317218899292$$
$$x_{51} = -41.5069439291598$$
$$x_{52} = 69.781277811468$$
$$x_{53} = 33.8912797569952$$
$$x_{54} = -91.7724263865965$$
$$x_{55} = -99.8647254823809$$
$$x_{56} = -54.073314543519$$
$$x_{57} = 19.5157953540313$$
$$x_{58} = 40.1744650641748$$
$$x_{59} = -24.4665017962258$$
$$x_{60} = 88.6308337330067$$
$$x_{61} = -66.6396851578782$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
-5*pi (-----, -5/4) 6
-pi (----, -1) 2
-pi (----, -5/4) 6
pi (--, 1) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) - cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar