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ln(6+5x-x^2)
Trazado el gráfico de la función/ ln(6+5x-x^2)

Gráfico de la función y = ln(6+5x-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /           2\
f(x) = log\6 + 5*x - x /
f(x)=log⁡(−x2+(5x+6))f{\left(x \right)} = \log{\left(- x^{2} + \left(5 x + 6\right) \right)} 
f = log(-x^2 + 5*x + 6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(−x2+(5x+6))=0\log{\left(- x^{2} + \left(5 x + 6\right) \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=52−352x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{3 \sqrt{5}}{2}
x2=52+352x_{2} = \frac{5}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}
Solución numérica
x1=−0.854101966249685x_{1} = -0.854101966249685
x2=5.85410196624968x_{2} = 5.85410196624968
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(6 + 5*x - x^2).
log⁡(−02+(0⋅5+6))\log{\left(- 0^{2} + \left(0 \cdot 5 + 6\right) \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(6)f{\left(0 \right)} = \log{\left(6 \right)}
Punto:
(0, log(6))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
5−2x−x2+(5x+6)=0\frac{5 - 2 x}{- x^{2} + \left(5 x + 6\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=52x_{1} = \frac{5}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(5/2, log(49/4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=52x_{1} = \frac{5}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,52]\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]
Crece en los intervalos
[52,∞)\left[\frac{5}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2x−5)2−x2+5x+6+2−x2+5x+6=0- \frac{\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{- x^{2} + 5 x + 6} + 2}{- x^{2} + 5 x + 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(−x2+(5x+6))=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(- x^{2} + \left(5 x + 6\right) \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(−x2+(5x+6))=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(- x^{2} + \left(5 x + 6\right) \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(6 + 5*x - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(−x2+(5x+6))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- x^{2} + \left(5 x + 6\right) \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(−x2+(5x+6))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- x^{2} + \left(5 x + 6\right) \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(−x2+(5x+6))=log⁡(−x2−5x+6)\log{\left(- x^{2} + \left(5 x + 6\right) \right)} = \log{\left(- x^{2} - 5 x + 6 \right)}
- No
log⁡(−x2+(5x+6))=−log⁡(−x2−5x+6)\log{\left(- x^{2} + \left(5 x + 6\right) \right)} = - \log{\left(- x^{2} - 5 x + 6 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(6+5x-x^2)
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