Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(sqrt(2*cos(x)))

Gráfico de la función y = ln(sqrt(2*cos(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  __________\
f(x) = log\\/ 2*cos(x) /
f(x)=log⁡(2cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} \right)} 
f = log(sqrt(2*cos(x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(2cos⁡(x))=0\log{\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}
Solución numérica
x1=30.3687289847013x_{1} = 30.3687289847013
x2=−5.23598775598299x_{2} = -5.23598775598299
x3=76.4454212373516x_{3} = 76.4454212373516
x4=32.4631240870945x_{4} = 32.4631240870945
x5=74.3510261349584x_{5} = 74.3510261349584
x6=−95.2949771588904x_{6} = -95.2949771588904
x7=−82.7286065445312x_{7} = -82.7286065445312
x8=80.634211442138x_{8} = 80.634211442138
x9=13.6135681655558x_{9} = 13.6135681655558
x10=−76.4454212373516x_{10} = -76.4454212373516
x11=24.0855436775217x_{11} = 24.0855436775217
x12=−55.5014702134197x_{12} = -55.5014702134197
x13=−7.33038285837618x_{13} = -7.33038285837618
x14=−61.7846555205993x_{14} = -61.7846555205993
x15=86.9173967493176x_{15} = 86.9173967493176
x16=68.0678408277789x_{16} = 68.0678408277789
x17=57.5958653158129x_{17} = 57.5958653158129
x18=−101.57816246607x_{18} = -101.57816246607
x19=70.162235930172x_{19} = 70.162235930172
x20=−30.3687289847013x_{20} = -30.3687289847013
x21=−51.3126800086333x_{21} = -51.3126800086333
x22=101.57816246607x_{22} = 101.57816246607
x23=11.5191730631626x_{23} = 11.5191730631626
x24=93.2005820564972x_{24} = 93.2005820564972
x25=−17.8023583703422x_{25} = -17.8023583703422
x26=−233.525053916841x_{26} = -233.525053916841
x27=89.0117918517108x_{27} = 89.0117918517108
x28=−49.2182849062401x_{28} = -49.2182849062401
x29=−24.0855436775217x_{29} = -24.0855436775217
x30=−68.0678408277789x_{30} = -68.0678408277789
x31=−80.634211442138x_{31} = -80.634211442138
x32=−11.5191730631626x_{32} = -11.5191730631626
x33=38.7463093942741x_{33} = 38.7463093942741
x34=−86.9173967493176x_{34} = -86.9173967493176
x35=−74.3510261349584x_{35} = -74.3510261349584
x36=42.9350995990605x_{36} = 42.9350995990605
x37=36.6519142918809x_{37} = 36.6519142918809
x38=49.2182849062401x_{38} = 49.2182849062401
x39=−19.8967534727354x_{39} = -19.8967534727354
x40=5.23598775598299x_{40} = 5.23598775598299
x41=61.7846555205993x_{41} = 61.7846555205993
x42=−57.5958653158129x_{42} = -57.5958653158129
x43=−26.1799387799149x_{43} = -26.1799387799149
x44=−70.162235930172x_{44} = -70.162235930172
x45=−63.8790506229925x_{45} = -63.8790506229925
x46=17.8023583703422x_{46} = 17.8023583703422
x47=55.5014702134197x_{47} = 55.5014702134197
x48=−32.4631240870945x_{48} = -32.4631240870945
x49=−13.6135681655558x_{49} = -13.6135681655558
x50=99.4837673636768x_{50} = 99.4837673636768
x51=82.7286065445312x_{51} = 82.7286065445312
x52=63.8790506229925x_{52} = 63.8790506229925
x53=45.0294947014537x_{53} = 45.0294947014537
x54=−99.4837673636768x_{54} = -99.4837673636768
x55=19.8967534727354x_{55} = 19.8967534727354
x56=−93.2005820564972x_{56} = -93.2005820564972
x57=26.1799387799149x_{57} = 26.1799387799149
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sqrt(2*cos(x))).
log⁡(2cos⁡(0))\log{\left(\sqrt{2 \cos{\left(0 \right)}} \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(2)f{\left(0 \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \right)}
Punto:
(0, log(sqrt(2)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)2cos⁡(x)=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
       /  ___\ 
(0, log\\/ 2 /)

     pi*I      /  ___\ 
(pi, ---- + log\\/ 2 /)
      2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡2(x)cos⁡2(x)+12=0- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(2cos⁡(x))=log⁡(2⟨0,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(2⟨0,1⟩)y = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(2cos⁡(x))=log⁡(2⟨0,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(2⟨0,1⟩)y = \log{\left(\sqrt{2} \left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sqrt(2*cos(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(2cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(2cos⁡(x))=log⁡(2cos⁡(x))\log{\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} \right)} = \log{\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} \right)}
- Sí
log⁡(2cos⁡(x))=−log⁡(2cos⁡(x))\log{\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} \right)} = - \log{\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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