Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- ln(x^ dos /((x+ uno)*(x- tres)))
- ln(x al cuadrado dividir por ((x más 1) multiplicar por (x menos 3)))
- ln(x en el grado dos dividir por ((x más uno) multiplicar por (x menos tres)))
- ln(x2/((x+1)*(x-3)))
- lnx2/x+1*x-3
- ln(x²/((x+1)*(x-3)))
- ln(x en el grado 2/((x+1)*(x-3)))
- ln(x^2/((x+1)(x-3)))
- ln(x2/((x+1)(x-3)))
- lnx2/x+1x-3
- lnx^2/x+1x-3
- ln(x^2 dividir por ((x+1)*(x-3)))
-
Expresiones semejantes
- ln(x^2/((x-1)*(x-3)))
- ln(x^2/((x+1)*(x+3)))
-
Expresiones con funciones
- ln
- lnx/x^(1/2)
- ln(x)+x
- ln(x/(x+1))
- lnx/x^1/2
- ln(x)/x^(1/2)
Gráfico de la función y = ln(x^2/((x+1)*(x-3)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x |
f(x) = log|---------------|
\(x + 1)*(x - 3)/
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)}$$
f = log(x^2/(((x - 3)*(x + 1))))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = -1.5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = -1.5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right) \left(\frac{x^{2} \left(2 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}} + 2 x \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right) \left(\frac{x^{2} \left(2 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}} + 2 x \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
Signos de extremos en los puntos:
(-3, log(3/4))
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x + 1} - \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x - 3} + \frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1\right)}{x} - \frac{- \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)} + x \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{7}{6} - \frac{\sqrt[3]{\frac{613}{8} + \frac{9 \sqrt{1077} i}{2}}}{3} - \frac{121}{12 \sqrt[3]{\frac{613}{8} + \frac{9 \sqrt{1077} i}{2}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x + 1} - \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x - 3} + \frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1\right)}{x} - \frac{- \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)} + x \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x + 1} - \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x - 3} + \frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1\right)}{x} - \frac{- \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)} + x \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x + 1} - \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x - 3} + \frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1\right)}{x} - \frac{- \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)} + x \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x + 1} - \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x - 3} + \frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1\right)}{x} - \frac{- \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)} + x \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{11 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{36 \sqrt{1077}}{613} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{7}{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{11 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{36 \sqrt{1077}}{613} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{7}{6}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x + 1} - \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x - 3} + \frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1\right)}{x} - \frac{- \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)} + x \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{7}{6} - \frac{\sqrt[3]{\frac{613}{8} + \frac{9 \sqrt{1077} i}{2}}}{3} - \frac{121}{12 \sqrt[3]{\frac{613}{8} + \frac{9 \sqrt{1077} i}{2}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x + 1} - \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x - 3} + \frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1\right)}{x} - \frac{- \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)} + x \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x + 1} - \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x - 3} + \frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1\right)}{x} - \frac{- \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)} + x \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x + 1} - \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x - 3} + \frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1\right)}{x} - \frac{- \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)} + x \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x + 1} - \frac{\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x - 3} + \frac{2 \left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1\right)}{x} - \frac{- \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)} + x \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} - 1}{x}\right)}{x}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{11 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{36 \sqrt{1077}}{613} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{7}{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{11 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{36 \sqrt{1077}}{613} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{7}{6}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x^2/(((x + 1)*(x - 3)))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)} = \log{\left(\frac{x^{2}}{\left(1 - x\right) \left(- x - 3\right)} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)} = - \log{\left(\frac{x^{2}}{\left(1 - x\right) \left(- x - 3\right)} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)} = \log{\left(\frac{x^{2}}{\left(1 - x\right) \left(- x - 3\right)} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)} \right)} = - \log{\left(\frac{x^{2}}{\left(1 - x\right) \left(- x - 3\right)} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar