Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(sqrt(x))+1

Gráfico de la función y = cos(sqrt(x))+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  ___\    
f(x) = cos\\/ x / + 1
f(x)=cos⁡(x)+1f{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 1 
f = cos(sqrt(x)) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)+1=0\cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \pi^{2}
Solución numérica
x1=88.8264288008564x_{1} = 88.8264288008564
x2=88.8264285616228x_{2} = 88.8264285616228
x3=9.86960686816032x_{3} = 9.86960686816032
x4=9.86960640630053x_{4} = 9.86960640630053
x5=88.8264319233893x_{5} = 88.8264319233893
x6=88.8264398542051x_{6} = 88.8264398542051
x7=9.86960596066849x_{7} = 9.86960596066849
x8=88.8264311258122x_{8} = 88.8264311258122
x9=88.8264374232545x_{9} = 88.8264374232545
x10=88.8264411026587x_{10} = 88.8264411026587
x11=9.86960532951284x_{11} = 9.86960532951284
x12=9.86960531292722x_{12} = 9.86960531292722
x13=88.8264364719572x_{13} = 88.8264364719572
x14=88.8264435755279x_{14} = 88.8264435755279
x15=88.8264340104362x_{15} = 88.8264340104362
x16=88.8264355228443x_{16} = 88.8264355228443
x17=88.8264419636407x_{17} = 88.8264419636407
x18=9.86959526897085x_{18} = 9.86959526897085
x19=9.86959743483978x_{19} = 9.86959743483978
x20=9.8696035483378x_{20} = 9.8696035483378
x21=9.86960236123105x_{21} = 9.86960236123105
x22=88.8264443177415x_{22} = 88.8264443177415
x23=88.8264345839786x_{23} = 88.8264345839786
x24=88.8264393095436x_{24} = 88.8264393095436
x25=9.86960189451837x_{25} = 9.86960189451837
x26=88.8264311002467x_{26} = 88.8264311002467
x27=88.8264285451447x_{27} = 88.8264285451447
x28=88.8264297495879x_{28} = 88.8264297495879
x29=88.8264383696962x_{29} = 88.8264383696962
x30=88.8264327737412x_{30} = 88.8264327737412
x31=88.8264295903598x_{31} = 88.8264295903598
x32=88.8264521106931x_{32} = 88.8264521106931
x33=88.8264288374812x_{33} = 88.8264288374812
x34=88.8264292090665x_{34} = 88.8264292090665
x35=88.8264214194504x_{35} = 88.8264214194504
x36=9.86960450077527x_{36} = 9.86960450077527
x37=9.86960679732024x_{37} = 9.86960679732024
x38=9.86960095981624x_{38} = 9.86960095981624
x39=9.86960642730761x_{39} = 9.86960642730761
x40=88.826442789391x_{40} = 88.826442789391
x41=9.86959932448707x_{41} = 9.86959932448707
x42=9.86960673273734x_{42} = 9.86960673273734
x43=88.8264402093905x_{43} = 88.8264402093905
x44=88.826430395499x_{44} = 88.826430395499
x45=88.826433664303x_{45} = 88.826433664303
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(sqrt(x)) + 1.
cos⁡(0)+1\cos{\left(\sqrt{0} \right)} + 1
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)2x=0- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \pi^{2}
Signos de extremos en los puntos:
   2    
(pi, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \pi^{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\pi^{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \pi^{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)x+sin⁡(x)x324=0\frac{- \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=59.6795159441094x_{1} = 59.6795159441094
x2=296.554412135731x_{2} = 296.554412135731
x3=20.1907285564266x_{3} = 20.1907285564266
x4=197.857811193377x_{4} = 197.857811193377
x5=118.899869163626x_{5} = 118.899869163626

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[197.857811193377,∞)\left[197.857811193377, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,59.6795159441094]\left(-\infty, 59.6795159441094\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(sqrt(x)) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)+1=cos⁡(−x)+1\cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 1 = \cos{\left(\sqrt{- x} \right)} + 1
- No
cos⁡(x)+1=−cos⁡(−x)−1\cos{\left(\sqrt{x} \right)} + 1 = - \cos{\left(\sqrt{- x} \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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