Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(sqrt(x))-1

Gráfico de la función y = cos(sqrt(x))-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  ___\    
f(x) = cos\\/ x / - 1
f(x)=cos⁡(x)−1f{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 1 
f = cos(sqrt(x)) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)−1=0\cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=4π2x_{2} = 4 \pi^{2}
Solución numérica
x1=39.4784150350481x_{1} = 39.4784150350481
x2=39.4784098692181x_{2} = 39.4784098692181
x3=157.913697463567x_{3} = 157.913697463567
x4=39.4784169919817x_{4} = 39.4784169919817
x5=39.4784130487571x_{5} = 39.4784130487571
x6=39.4784231008965x_{6} = 39.4784231008965
x7=39.4784203522095x_{7} = 39.4784203522095
x8=39.4784230848873x_{8} = 39.4784230848873
x9=39.4784213050027x_{9} = 39.4784213050027
x10=39.4784104527582x_{10} = 39.4784104527582
x11=39.4784110714148x_{11} = 39.4784110714148
x12=0x_{12} = 0
x13=39.4784316363598x_{13} = 39.4784316363598
x14=39.4784187848578x_{14} = 39.4784187848578
x15=39.4784120981909x_{15} = 39.4784120981909
x16=631.654699417355x_{16} = 631.654699417355
x17=39.4784231686652x_{17} = 39.4784231686652
x18=39.478416025174x_{18} = 39.478416025174
x19=39.4784222927795x_{19} = 39.4784222927795
x20=39.4784196022413x_{20} = 39.4784196022413
x21=39.4784112177865x_{21} = 39.4784112177865
x22=39.4784221363365x_{22} = 39.4784221363365
x23=39.4784228366928x_{23} = 39.4784228366928
x24=157.913682331179x_{24} = 157.913682331179
x25=39.4784094124511x_{25} = 39.4784094124511
x26=39.4784228752785x_{26} = 39.4784228752785
x27=39.47841790122x_{27} = 39.47841790122
x28=39.4784195276429x_{28} = 39.4784195276429
x29=39.4784225556012x_{29} = 39.4784225556012
x30=39.4784216251889x_{30} = 39.4784216251889
x31=39.4784095759701x_{31} = 39.4784095759701
x32=39.4784161776161x_{32} = 39.4784161776161
x33=39.4784155555891x_{33} = 39.4784155555891
x34=39.478414036228x_{34} = 39.478414036228
x35=39.4783993417375x_{35} = 39.4783993417375
x36=39.4784097888015x_{36} = 39.4784097888015
x37=39.4784210285171x_{37} = 39.4784210285171
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(sqrt(x)) - 1.
−1+cos⁡(0)-1 + \cos{\left(\sqrt{0} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)2x=0- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \pi^{2}
Signos de extremos en los puntos:
   2     
(pi, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \pi^{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\pi^{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \pi^{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)x+sin⁡(x)x324=0\frac{- \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=197.857811193377x_{1} = 197.857811193377
x2=296.554412135731x_{2} = 296.554412135731
x3=118.899869163626x_{3} = 118.899869163626
x4=20.1907285564266x_{4} = 20.1907285564266
x5=59.6795159441094x_{5} = 59.6795159441094

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[197.857811193377,∞)\left[197.857811193377, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,59.6795159441094]\left(-\infty, 59.6795159441094\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(cos⁡(x)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(sqrt(x)) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)−1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(cos⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)−1=cos⁡(−x)−1\cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 1 = \cos{\left(\sqrt{- x} \right)} - 1
- No
cos⁡(x)−1=1−cos⁡(−x)\cos{\left(\sqrt{x} \right)} - 1 = 1 - \cos{\left(\sqrt{- x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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