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-x^3+9*x^2+x-1
Trazado el gráfico de la función/ -x^3+9*x^2+x-1

Gráfico de la función y = -x^3+9*x^2+x-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3      2        
f(x) = - x  + 9*x  + x - 1
f(x)=(x+(−x3+9x2))−1f{\left(x \right)} = \left(x + \left(- x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 1 
f = x - x^3 + 9*x^2 - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+(−x3+9x2))−1=0\left(x + \left(- x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3+28328+283i93+28+283i93x_{1} = 3 + \frac{28}{3 \sqrt[3]{28 + \frac{28 \sqrt{3} i}{9}}} + \sqrt[3]{28 + \frac{28 \sqrt{3} i}{9}}
Solución numérica
x1=0.286208264215581x_{1} = 0.286208264215581
x2=9.09783467904461x_{2} = 9.09783467904461
x3=−0.384042943260192x_{3} = -0.384042943260192
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x^3 + 9*x^2 + x - 1.
−1+(−03+9⋅02)-1 + \left(- 0^{3} + 9 \cdot 0^{2}\right)
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x2+18x+1=0- 3 x^{2} + 18 x + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3−2213x_{1} = 3 - \frac{2 \sqrt{21}}{3}
x2=3+2213x_{2} = 3 + \frac{2 \sqrt{21}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                                 3                   2            
         ____      /        ____\      /        ____\        ____ 
     2*\/ 21       |    2*\/ 21 |      |    2*\/ 21 |    2*\/ 21  
(3 - --------, 2 - |3 - --------|  + 9*|3 - --------|  - --------)
        3          \       3    /      \       3    /       3     

                                 3                   2            
         ____      /        ____\      /        ____\        ____ 
     2*\/ 21       |    2*\/ 21 |      |    2*\/ 21 |    2*\/ 21  
(3 + --------, 2 - |3 + --------|  + 9*|3 + --------|  + --------)
        3          \       3    /      \       3    /       3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3−2213x_{1} = 3 - \frac{2 \sqrt{21}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=3+2213x_{1} = 3 + \frac{2 \sqrt{21}}{3}
Decrece en los intervalos
[3−2213,3+2213]\left[3 - \frac{2 \sqrt{21}}{3}, 3 + \frac{2 \sqrt{21}}{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,3−2213]∪[3+2213,∞)\left(-\infty, 3 - \frac{2 \sqrt{21}}{3}\right] \cup \left[3 + \frac{2 \sqrt{21}}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(3−x)=06 \left(3 - x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Convexa en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+(−x3+9x2))−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \left(- x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+(−x3+9x2))−1)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \left(- x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^3 + 9*x^2 + x - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+(−x3+9x2))−1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \left(- x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+(−x3+9x2))−1x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \left(- x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+(−x3+9x2))−1=x3+9x2−x−1\left(x + \left(- x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 1 = x^{3} + 9 x^{2} - x - 1
- No
(x+(−x3+9x2))−1=−x3−9x2+x+1\left(x + \left(- x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 1 = - x^{3} - 9 x^{2} + x + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -x^3+9*x^2+x-1
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