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Trazado el gráfico de la función/ cos(2*log(x))+sin(2*log(x))

Gráfico de la función y = cos(2*log(x))+sin(2*log(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(2*log(x)) + sin(2*log(x))
f(x)=sin⁡(2log⁡(x))+cos⁡(2log⁡(x))f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} 
f = sin(2*log(x)) + cos(2*log(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2log⁡(x))+cos⁡(2log⁡(x))=0\sin{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=e−π8x_{1} = e^{- \frac{\pi}{8}}
Solución numérica
x1=361.581051558246x_{1} = 361.581051558246
x2=75.1653158143911x_{2} = 75.1653158143911
x3=3.24818781387372x_{3} = 3.24818781387372
x4=15.6253340077668x_{4} = 15.6253340077668
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(2*log(x)) + sin(2*log(x)).
sin⁡(2log⁡(0))+cos⁡(2log⁡(0))\sin{\left(2 \log{\left(0 \right)} \right)} + \cos{\left(2 \log{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(2log⁡(x))x+2cos⁡(2log⁡(x))x=0- \frac{2 \sin{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eπ8x_{1} = e^{\frac{\pi}{8}}
Signos de extremos en los puntos:
  pi        
  --        
  8     ___ 
(e , \/ 2 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=eπ8x_{1} = e^{\frac{\pi}{8}}
Decrece en los intervalos
(−∞,eπ8]\left(-\infty, e^{\frac{\pi}{8}}\right]
Crece en los intervalos
[eπ8,∞)\left[e^{\frac{\pi}{8}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(sin⁡(2log⁡(x))+3cos⁡(2log⁡(x)))x2=0- \frac{2 \left(\sin{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} + 3 \cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}\right)}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−atan⁡(3)2x_{1} = e^{- \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e−atan⁡(3)2]\left(-\infty, e^{- \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}}\right]
Convexa en los intervalos
[e−atan⁡(3)2,∞)\left[e^{- \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2log⁡(x))+cos⁡(2log⁡(x)))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(2log⁡(x))+cos⁡(2log⁡(x)))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*log(x)) + sin(2*log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2log⁡(x))+cos⁡(2log⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2log⁡(x))+cos⁡(2log⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(2log⁡(x))+cos⁡(2log⁡(x))=sin⁡(2log⁡(−x))+cos⁡(2log⁡(−x))\sin{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} = \sin{\left(2 \log{\left(- x \right)} \right)} + \cos{\left(2 \log{\left(- x \right)} \right)}
- No
sin⁡(2log⁡(x))+cos⁡(2log⁡(x))=−sin⁡(2log⁡(−x))−cos⁡(2log⁡(−x))\sin{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} = - \sin{\left(2 \log{\left(- x \right)} \right)} - \cos{\left(2 \log{\left(- x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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