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Trazado el gráfico de la función/ log8(-40-14*x-x^2)+3

Gráfico de la función y = log8(-40-14*x-x^2)+3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /              2\    
       log\-40 - 14*x - x /    
f(x) = -------------------- + 3
              log(8)
f(x)=log⁡(−x2+(−14x−40))log⁡(8)+3f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(- x^{2} + \left(- 14 x - 40\right) \right)}}{\log{\left(8 \right)}} + 3 
f = log(-x^2 - 14*x - 40)/log(8) + 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(−x2+(−14x−40))log⁡(8)+3=0\frac{\log{\left(- x^{2} + \left(- 14 x - 40\right) \right)}}{\log{\left(8 \right)}} + 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−7−921432x_{1} = -7 - \frac{\sqrt{9214}}{32}
x2=−7+921432x_{2} = -7 + \frac{\sqrt{9214}}{32}
Solución numérica
x1=−9.99967446150411x_{1} = -9.99967446150411
x2=−4.00032553849589x_{2} = -4.00032553849589
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(-40 - 14*x - x^2)/log(8) + 3.
3+log⁡((−40−0)−02)log⁡(8)3 + \frac{\log{\left(\left(-40 - 0\right) - 0^{2} \right)}}{\log{\left(8 \right)}}
Resultado:
f(0)=3+log⁡(40)+iπlog⁡(8)f{\left(0 \right)} = 3 + \frac{\log{\left(40 \right)} + i \pi}{\log{\left(8 \right)}}
Punto:
(0, 3 + (pi*i + log(40))/log(8))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x−14(−x2+(−14x−40))log⁡(8)=0\frac{- 2 x - 14}{\left(- x^{2} + \left(- 14 x - 40\right)\right) \log{\left(8 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−7x_{1} = -7
Signos de extremos en los puntos:
         log(9) 
(-7, 3 + ------)
         log(8)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−7x_{1} = -7
Decrece en los intervalos
(−∞,−7]\left(-\infty, -7\right]
Crece en los intervalos
[−7,∞)\left[-7, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2(x+7)2x2+14x+40+1)(x2+14x+40)log⁡(8)=0\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 7\right)^{2}}{x^{2} + 14 x + 40} + 1\right)}{\left(x^{2} + 14 x + 40\right) \log{\left(8 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(−x2+(−14x−40))log⁡(8)+3)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- x^{2} + \left(- 14 x - 40\right) \right)}}{\log{\left(8 \right)}} + 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(log⁡(−x2+(−14x−40))log⁡(8)+3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- x^{2} + \left(- 14 x - 40\right) \right)}}{\log{\left(8 \right)}} + 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(-40 - 14*x - x^2)/log(8) + 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(−x2+(−14x−40))log⁡(8)+3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\log{\left(- x^{2} + \left(- 14 x - 40\right) \right)}}{\log{\left(8 \right)}} + 3}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(−x2+(−14x−40))log⁡(8)+3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\log{\left(- x^{2} + \left(- 14 x - 40\right) \right)}}{\log{\left(8 \right)}} + 3}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(−x2+(−14x−40))log⁡(8)+3=log⁡(−x2+14x−40)log⁡(8)+3\frac{\log{\left(- x^{2} + \left(- 14 x - 40\right) \right)}}{\log{\left(8 \right)}} + 3 = \frac{\log{\left(- x^{2} + 14 x - 40 \right)}}{\log{\left(8 \right)}} + 3
- No
log⁡(−x2+(−14x−40))log⁡(8)+3=−log⁡(−x2+14x−40)log⁡(8)−3\frac{\log{\left(- x^{2} + \left(- 14 x - 40\right) \right)}}{\log{\left(8 \right)}} + 3 = - \frac{\log{\left(- x^{2} + 14 x - 40 \right)}}{\log{\left(8 \right)}} - 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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