Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(sqrt(x))^4+5

Gráfico de la función y = sin(sqrt(x))^4+5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          4/  ___\    
f(x) = sin \\/ x / + 5
f(x)=sin⁡4(x)+5f{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(\sqrt{x} \right)} + 5 
f = sin(sqrt(x))^4 + 5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡4(x)+5=0\sin^{4}{\left(\sqrt{x} \right)} + 5 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(sqrt(x))^4 + 5.
sin⁡4(0)+5\sin^{4}{\left(\sqrt{0} \right)} + 5
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡3(x)cos⁡(x)x=0\frac{2 \sin^{3}{\left(\sqrt{x} \right)} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π24x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}
Signos de extremos en los puntos:
   2    
 pi     
(---, 6)
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π24x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π24]\left(-\infty, \frac{\pi^{2}}{4}\right]
Crece en los intervalos
[π24,∞)\left[\frac{\pi^{2}}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−sin⁡2(x)x+3cos⁡2(x)x−sin⁡(x)cos⁡(x)x32)sin⁡2(x)=0\left(- \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} + \frac{3 \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=39.4784203707398x_{1} = 39.4784203707398
x2=88.8264401930994x_{2} = 88.8264401930994
x3=88.8264375345193x_{3} = 88.8264375345193
x4=9.86960517924972x_{4} = 9.86960517924972
x5=27.1686555694318x_{5} = 27.1686555694318
x6=69.9358643395331x_{6} = 69.9358643395331
x7=39.4784161127786x_{7} = 39.4784161127786
x8=88.8264375839185x_{8} = 88.8264375839185
x9=9.86960449792469x_{9} = 9.86960449792469
x10=9.86960484463388x_{10} = 9.86960484463388
x11=0.812707588606147x_{11} = 0.812707588606147
x12=88.8264393077308x_{12} = 88.8264393077308
x13=88.8264383786809x_{13} = 88.8264383786809
x14=39.4784169819831x_{14} = 39.4784169819831
x15=39.4784178938972x_{15} = 39.4784178938972
x16=39.4784185883372x_{16} = 39.4784185883372
x17=53.4818477558285x_{17} = 53.4818477558285
x18=88.8264354637758x_{18} = 88.8264354637758
x19=0.812707588606147x_{19} = 0.812707588606147
x20=88.8264371258873x_{20} = 88.8264371258873
x21=39.4784139246615x_{21} = 39.4784139246615
x22=39.4784172471387x_{22} = 39.4784172471387
x23=88.82643898989x_{23} = 88.82643898989
x24=88.8264413555594x_{24} = 88.8264413555594
x25=88.8264391088695x_{25} = 88.8264391088695
x26=17.291005090648x_{26} = 17.291005090648
x27=4.14301513567963x_{27} = 4.14301513567963
x28=39.4784187161465x_{28} = 39.4784187161465
x29=88.8264409440632x_{29} = 88.8264409440632
x30=88.8264439235305x_{30} = 88.8264439235305
x31=9.86960350196624x_{31} = 9.86960350196624
x32=39.4784158230853x_{32} = 39.4784158230853
x33=88.8264414095401x_{33} = 88.8264414095401

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[69.9358643395331,∞)\left[69.9358643395331, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4.14301513567963]\left(-\infty, 4.14301513567963\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡4(x)+5)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{4}{\left(\sqrt{x} \right)} + 5\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(sin⁡4(x)+5)=⟨5,6⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{4}{\left(\sqrt{x} \right)} + 5\right) = \left\langle 5, 6\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨5,6⟩y = \left\langle 5, 6\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(sqrt(x))^4 + 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡4(x)+5x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{4}{\left(\sqrt{x} \right)} + 5}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(sin⁡4(x)+5x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{4}{\left(\sqrt{x} \right)} + 5}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡4(x)+5=sin⁡4(−x)+5\sin^{4}{\left(\sqrt{x} \right)} + 5 = \sin^{4}{\left(\sqrt{- x} \right)} + 5
- No
sin⁡4(x)+5=−sin⁡4(−x)−5\sin^{4}{\left(\sqrt{x} \right)} + 5 = - \sin^{4}{\left(\sqrt{- x} \right)} - 5
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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