Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(pi/(1x^2))

Gráfico de la función y = sin(pi/(1x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /pi\
f(x) = sin|--|
          | 2|
          \x /
f(x)=sin⁡(πx2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)} 
f = sin(pi/x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(πx2)=0\sin{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(pi/x^2).
sin⁡(π02)\sin{\left(\frac{\pi}{0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2πcos⁡(πx2)x3=0- \frac{2 \pi \cos{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
x3=−63x_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{3}
x4=63x_{4} = \frac{\sqrt{6}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
    ___    
(-\/ 2, 1)

   ___    
(\/ 2, 1)

    ___      
 -\/ 6       
(-------, -1)
    3        

   ___     
 \/ 6      
(-----, -1)
   3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−63x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}
x2=63x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}
Puntos máximos de la función:
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
[63,∞)\left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−63]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2π(3cos⁡(πx2)−2πsin⁡(πx2)x2)x4=0\frac{2 \pi \left(3 \cos{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)} - \frac{2 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−4780.70218794405x_{1} = -4780.70218794405
x2=−10886.6434288129x_{2} = -10886.6434288129
x3=−5216.8384193443x_{3} = -5216.8384193443
x4=−4344.56708529484x_{4} = -4344.56708529484
x5=−6743.32033298321x_{5} = -6743.32033298321
x6=−2818.11519418677x_{6} = -2818.11519418677
x7=−8705.94557442339x_{7} = -8705.94557442339
x8=−6961.38958419625x_{8} = -6961.38958419625
x9=3506.07109783665x_{9} = 3506.07109783665
x10=6122.88214911524x_{10} = 6122.88214911524
x11=−3908.43363546915x_{11} = -3908.43363546915
x12=−9578.22445069943x_{12} = -9578.22445069943
x13=1979.67597055365x_{13} = 1979.67597055365
x14=−7615.59772293011x_{14} = -7615.59772293011
x15=4160.26881748476x_{15} = 4160.26881748476
x16=−3036.17603755621x_{16} = -3036.17603755621
x17=4378.33586622538x_{17} = 4378.33586622538
x18=−4562.63446886693x_{18} = -4562.63446886693
x19=5250.60738726902x_{19} = 5250.60738726902
x20=−6307.18207142429x_{20} = -6307.18207142429
x21=8739.71476368571x_{21} = 8739.71476368571
x22=−10232.4338565951x_{22} = -10232.4338565951
x23=10484.2729184746x_{23} = 10484.2729184746
x24=8521.64511199297x_{24} = 8521.64511199297
x25=4814.47107856761x_{25} = 4814.47107856761
x26=2197.71840293773x_{26} = 2197.71840293773
x27=3724.13629363121x_{27} = 3724.13629363121
x28=5032.53911870316x_{28} = 5032.53911870316
x29=2851.882791198x_{29} = 2851.882791198
x30=−3472.30273535066x_{30} = -3472.30273535066
x31=8957.78444653579x_{31} = 8957.78444653579
x32=−2600.05688870909x_{32} = -2600.05688870909
x33=2633.82401876028x_{33} = 2633.82401876028
x34=3942.20225359476x_{34} = 3942.20225359476
x35=−10014.3640343724x_{35} = -10014.3640343724
x36=7867.43637364558x_{36} = 7867.43637364558
x37=2415.76867499497x_{37} = 2415.76867499497
x38=−10668.5735549972x_{38} = -10668.5735549972
x39=−3690.36778800594x_{39} = -3690.36778800594
x40=−6089.11308215214x_{40} = -6089.11308215214
x41=−7397.52828581986x_{41} = -7397.52828581986
x42=6559.02025864528x_{42} = 6559.02025864528
x43=−3254.23870943455x_{43} = -3254.23870943455
x44=3288.00688632725x_{44} = 3288.00688632725
x45=6340.95115582592x_{45} = 6340.95115582592
x46=−4998.77018625076x_{46} = -4998.77018625076
x47=−5871.044204503x_{47} = -5871.044204503
x48=−7833.66721014961x_{48} = -7833.66721014961
x49=−5434.90685169247x_{49} = -5434.90685169247
x50=10702.3427791051x_{50} = 10702.3427791051
x51=9393.92389598832x_{51} = 9393.92389598832
x52=−6525.2511588313x_{52} = -6525.2511588313
x53=−2163.95296533457x_{53} = -2163.95296533457
x54=8085.50591362145x_{54} = 8085.50591362145
x55=−5652.97545456723x_{55} = -5652.97545456723
x56=5468.67584995765x_{56} = 5468.67584995765
x57=3069.94396855706x_{57} = 3069.94396855706
x58=−9142.08495886213x_{58} = -9142.08495886213
x59=−10450.5036972156x_{59} = -10450.5036972156
x60=−2382.00222034626x_{60} = -2382.00222034626
x61=8303.57549425554x_{61} = 8303.57549425554
x62=−8051.73674278864x_{62} = -8051.73674278864
x63=−7179.45890418524x_{63} = -7179.45890418524
x64=−4126.50010945865x_{64} = -4126.50010945865
x65=−9360.15469240556x_{65} = -9360.15469240556
x66=9830.06344333794x_{66} = 9830.06344333794
x67=9175.85415804768x_{67} = 9175.85415804768
x68=4596.40330969714x_{68} = 4596.40330969714
x69=6995.15870991832x_{69} = 6995.15870991832
x70=−8924.01525210987x_{70} = -8924.01525210987
x71=9611.99365835324x_{71} = 9611.99365835324
x72=7213.22804085786x_{72} = 7213.22804085786
x73=5904.81325162686x_{73} = 5904.81325162686
x74=6777.08944648761x_{74} = 6777.08944648761
x75=7649.36687835807x_{75} = 7649.36687835807
x76=10920.412655587x_{76} = 10920.412655587
x77=10048.1332493134x_{77} = 10048.1332493134
x78=−8269.80631673041x_{78} = -8269.80631673041
x79=−1.78296805134795x_{79} = -1.78296805134795
x80=5686.74447898608x_{80} = 5686.74447898608
x81=−8487.87592834591x_{81} = -8487.87592834591
x82=7431.2974323468x_{82} = 7431.2974323468
x83=10266.2030748049x_{83} = 10266.2030748049
x84=−9796.2942319074x_{84} = -9796.2942319074
x85=−31141.4709546314x_{85} = -31141.4709546314
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−1.78296805134795]\left(-\infty, -1.78296805134795\right]
Convexa en los intervalos
[−1.78296805134795,∞)\left[-1.78296805134795, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(πx2)=0\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞sin⁡(πx2)=0\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(pi/x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(πx2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(πx2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(πx2)=sin⁡(πx2)\sin{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)} = \sin{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)}
- Sí
sin⁡(πx2)=−sin⁡(πx2)\sin{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)} = - \sin{\left(\frac{\pi}{x^{2}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
    © Sr Examen – Калькулятор