Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(4*x)-3*cos(2*x)

Gráfico de la función y = sin(4*x)-3*cos(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(4*x) - 3*cos(2*x)
f(x)=sin⁡(4x)−3cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)} 
f = sin(4*x) - 3*cos(2*x)
Gráfico de la función
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.00-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(4x)−3cos⁡(2x)=0\sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=−2.35619449019234x_{1} = -2.35619449019234
x2=41.6261026600648x_{2} = 41.6261026600648
x3=99.7455667514759x_{3} = 99.7455667514759
x4=−25.9181393921158x_{4} = -25.9181393921158
x5=−84.037603483527x_{5} = -84.037603483527
x6=−96.6039740978861x_{6} = -96.6039740978861
x7=−55.7632696012188x_{7} = -55.7632696012188
x8=−71.4712328691678x_{8} = -71.4712328691678
x9=57.3340659280137x_{9} = 57.3340659280137
x10=−52.621676947629x_{10} = -52.621676947629
x11=−87.1791961371168x_{11} = -87.1791961371168
x12=−21.2057504117311x_{12} = -21.2057504117311
x13=82.4668071567321x_{13} = 82.4668071567321
x14=−11.7809724509617x_{14} = -11.7809724509617
x15=60.4756585816035x_{15} = 60.4756585816035
x16=38.484510006475x_{16} = 38.484510006475
x17=44.7676953136546x_{17} = 44.7676953136546
x18=76.1836218495525x_{18} = 76.1836218495525
x19=95.0331777710912x_{19} = 95.0331777710912
x20=−10.2101761241668x_{20} = -10.2101761241668
x21=−77.7544181763474x_{21} = -77.7544181763474
x22=16.4933614313464x_{22} = 16.4933614313464
x23=−8.63937979737193x_{23} = -8.63937979737193
x24=69.9004365423729x_{24} = 69.9004365423729
x25=−74.6128255227576x_{25} = -74.6128255227576
x26=32.2013246992954x_{26} = 32.2013246992954
x27=68.329640215578x_{27} = 68.329640215578
x28=−85.6083998103219x_{28} = -85.6083998103219
x29=22.776546738526x_{29} = 22.776546738526
x30=11.7809724509617x_{30} = 11.7809724509617
x31=−30.6305283725005x_{31} = -30.6305283725005
x32=−3.92699081698724x_{32} = -3.92699081698724
x33=90.3207887907066x_{33} = 90.3207887907066
x34=−41.6261026600648x_{34} = -41.6261026600648
x35=63.6172512351933x_{35} = 63.6172512351933
x36=−27.4889357189107x_{36} = -27.4889357189107
x37=−18.0641577581413x_{37} = -18.0641577581413
x38=−62.0464549083984x_{38} = -62.0464549083984
x39=13.3517687777566x_{39} = 13.3517687777566
x40=−19.6349540849362x_{40} = -19.6349540849362
x41=−47.9092879672443x_{41} = -47.9092879672443
x42=−32.2013246992954x_{42} = -32.2013246992954
x43=24.3473430653209x_{43} = 24.3473430653209
x44=−49.4800842940392x_{44} = -49.4800842940392
x45=−93.4623814442964x_{45} = -93.4623814442964
x46=47.9092879672443x_{46} = 47.9092879672443
x47=−65.1880475619882x_{47} = -65.1880475619882
x48=−43.1968989868597x_{48} = -43.1968989868597
x49=77.7544181763474x_{49} = 77.7544181763474
x50=54.1924732744239x_{50} = 54.1924732744239
x51=−98.174770424681x_{51} = -98.174770424681
x52=19.6349540849362x_{52} = 19.6349540849362
x53=85.6083998103219x_{53} = 85.6083998103219
x54=55.7632696012188x_{54} = 55.7632696012188
x55=0.785398163397448x_{55} = 0.785398163397448
x56=−76.1836218495525x_{56} = -76.1836218495525
x57=−5.49778714378214x_{57} = -5.49778714378214
x58=−68.329640215578x_{58} = -68.329640215578
x59=84.037603483527x_{59} = 84.037603483527
x60=3.92699081698724x_{60} = 3.92699081698724
x61=79.3252145031423x_{61} = 79.3252145031423
x62=10.2101761241668x_{62} = 10.2101761241668
x63=−69.9004365423729x_{63} = -69.9004365423729
x64=−33.7721210260903x_{64} = -33.7721210260903
x65=51.0508806208341x_{65} = 51.0508806208341
x66=66.7588438887831x_{66} = 66.7588438887831
x67=−54.1924732744239x_{67} = -54.1924732744239
x68=33.7721210260903x_{68} = 33.7721210260903
x69=−46.3384916404494x_{69} = -46.3384916404494
x70=46.3384916404494x_{70} = 46.3384916404494
x71=−63.6172512351933x_{71} = -63.6172512351933
x72=−91.8915851175014x_{72} = -91.8915851175014
x73=2.35619449019234x_{73} = 2.35619449019234
x74=88.7499924639117x_{74} = 88.7499924639117
x75=25.9181393921158x_{75} = 25.9181393921158
x76=−24.3473430653209x_{76} = -24.3473430653209
x77=40.0553063332699x_{77} = 40.0553063332699
x78=91.8915851175014x_{78} = 91.8915851175014
x79=−90.3207887907066x_{79} = -90.3207887907066
x80=−1120.76317916816x_{80} = -1120.76317916816
x81=−40.0553063332699x_{81} = -40.0553063332699
x82=98.174770424681x_{82} = 98.174770424681
x83=18.0641577581413x_{83} = 18.0641577581413
x84=73.0420291959627x_{84} = 73.0420291959627
x85=62.0464549083984x_{85} = 62.0464549083984
x86=−99.7455667514759x_{86} = -99.7455667514759
x87=35.3429173528852x_{87} = 35.3429173528852
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(4*x) - 3*cos(2*x).
−3cos⁡(0⋅2)+sin⁡(0⋅4)- 3 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)} + \sin{\left(0 \cdot 4 \right)}
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = -3
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6sin⁡(2x)+4cos⁡(4x)=06 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(−4sin⁡(4x)+3cos⁡(2x))=04 \left(- 4 \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}
x5=i(log⁡(8)−log⁡(−55+3i))2x_{5} = \frac{i \left(\log{\left(8 \right)} - \log{\left(- \sqrt{55} + 3 i \right)}\right)}{2}
x6=i(log⁡(8)−log⁡(55+3i))2x_{6} = \frac{i \left(\log{\left(8 \right)} - \log{\left(\sqrt{55} + 3 i \right)}\right)}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3π4,∞)\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−3π4]\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(4x)−3cos⁡(2x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(4x)−3cos⁡(2x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(4*x) - 3*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(4x)−3cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(4x)−3cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(4x)−3cos⁡(2x)=−sin⁡(4x)−3cos⁡(2x)\sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}
- No
sin⁡(4x)−3cos⁡(2x)=sin⁡(4x)+3cos⁡(2x)\sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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