Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x^3+x-1)

Gráfico de la función y = cos(x^3+x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 3        \
f(x) = cos\x  + x - 1/
f(x)=cos⁡((x3+x)−1)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\left(x^{3} + x\right) - 1 \right)} 
f = cos(x^3 + x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x^3 + x - 1).
cos⁡(−1+03)\cos{\left(-1 + 0^{3} \right)}
Resultado:
f(0)=cos⁡(1)f{\left(0 \right)} = \cos{\left(1 \right)}
Punto:
(0, cos(1))
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(6xsin⁡(x3+x−1)+(3x2+1)2cos⁡(x3+x−1))=0- (6 x \sin{\left(x^{3} + x - 1 \right)} + \left(3 x^{2} + 1\right)^{2} \cos{\left(x^{3} + x - 1 \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−11.9440374243053x_{1} = -11.9440374243053
x2=−2.22186119935004x_{2} = -2.22186119935004
x3=−21.8054557440533x_{3} = -21.8054557440533
x4=27.8798121713957x_{4} = 27.8798121713957
x5=−4.3823107476796x_{5} = -4.3823107476796
x6=−3.53499603968616x_{6} = -3.53499603968616
x7=−12.3477068789344x_{7} = -12.3477068789344
x8=−10.9480574558672x_{8} = -10.9480574558672
x9=5.21554881890378x_{9} = 5.21554881890378
x10=−38.4668132081893x_{10} = -38.4668132081893
x11=8.1012300690476x_{11} = 8.1012300690476
x12=−14.5749943264979x_{12} = -14.5749943264979
x13=22.0914068775335x_{13} = 22.0914068775335
x14=−25.8180242359993x_{14} = -25.8180242359993
x15=−35.7532678282859x_{15} = -35.7532678282859
x16=−97.7819127841291x_{16} = -97.7819127841291
x17=8.80132226459454x_{17} = 8.80132226459454
x18=−88.0711898262635x_{18} = -88.0711898262635
x19=−6.36692078734546x_{19} = -6.36692078734546
x20=−14.2271626786205x_{20} = -14.2271626786205
x21=1.61598638785614x_{21} = 1.61598638785614
x22=−9.77245091828467x_{22} = -9.77245091828467
x23=−23.9512534922005x_{23} = -23.9512534922005
x24=−17.5635379257858x_{24} = -17.5635379257858
x25=−6.44288361772208x_{25} = -6.44288361772208
x26=42.347603322834x_{26} = 42.347603322834
x27=56.6719391737216x_{27} = 56.6719391737216
x28=6.48358597469258x_{28} = 6.48358597469258
x29=2.14768822096432x_{29} = 2.14768822096432
x30=−1.73493506322769x_{30} = -1.73493506322769
x31=−51.842195394408x_{31} = -51.842195394408
x32=24.0269757923398x_{32} = 24.0269757923398
x33=84.2980577279133x_{33} = 84.2980577279133
x34=−44.0514614385011x_{34} = -44.0514614385011
x35=2.34174126185351x_{35} = 2.34174126185351
x36=60.1959191097823x_{36} = 60.1959191097823
x37=−99.8066831060162x_{37} = -99.8066831060162
x38=62.368252456447x_{38} = 62.368252456447
x39=−45.8338988120171x_{39} = -45.8338988120171
x40=44.248399396014x_{40} = 44.248399396014
x41=26.2923246458867x_{41} = 26.2923246458867
x42=19.9553611894039x_{42} = 19.9553611894039
x43=4.13500648014224x_{43} = 4.13500648014224
x44=−41.858182642679x_{44} = -41.858182642679
x45=6.11744595946703x_{45} = 6.11744595946703
x46=41.2202535530842x_{46} = 41.2202535530842
x47=48.3926095020138x_{47} = 48.3926095020138
x48=38.195781593165x_{48} = 38.195781593165
x49=−54.8840983197054x_{49} = -54.8840983197054
x50=−19.444111848338x_{50} = -19.444111848338
x51=16.0850452641967x_{51} = 16.0850452641967

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[56.6719391737216,∞)\left[56.6719391737216, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−99.8066831060162]\left(-\infty, -99.8066831060162\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡((x3+x)−1)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\left(x^{3} + x\right) - 1 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡((x3+x)−1)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\left(x^{3} + x\right) - 1 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x^3 + x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡((x3+x)−1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\left(x^{3} + x\right) - 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡((x3+x)−1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\left(x^{3} + x\right) - 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡((x3+x)−1)=cos⁡(x3+x+1)\cos{\left(\left(x^{3} + x\right) - 1 \right)} = \cos{\left(x^{3} + x + 1 \right)}
- No
cos⁡((x3+x)−1)=−cos⁡(x3+x+1)\cos{\left(\left(x^{3} + x\right) - 1 \right)} = - \cos{\left(x^{3} + x + 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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