Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos((x-pi)/4)

Gráfico de la función y = cos((x-pi)/4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x - pi\
f(x) = cos|------|
          \  4   /
f(x)=cos⁡(x−π4)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} 
f = cos((x - pi)/4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x−π4)=0\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Solución numérica
x1=−53.4070751110265x_{1} = -53.4070751110265
x2=−15.707963267949x_{2} = -15.707963267949
x3=84.8230016469244x_{3} = 84.8230016469244
x4=21.9911485751286x_{4} = 21.9911485751286
x5=−78.5398163397448x_{5} = -78.5398163397448
x6=47.1238898038469x_{6} = 47.1238898038469
x7=−204.203522483337x_{7} = -204.203522483337
x8=14875.4412147477x_{8} = 14875.4412147477
x9=197.920337176157x_{9} = 197.920337176157
x10=34.5575191894877x_{10} = 34.5575191894877
x11=72.2566310325652x_{11} = 72.2566310325652
x12=−3.14159265358979x_{12} = -3.14159265358979
x13=−40.8407044966673x_{13} = -40.8407044966673
x14=−28.2743338823081x_{14} = -28.2743338823081
x15=−103.672557568463x_{15} = -103.672557568463
x16=59.6902604182061x_{16} = 59.6902604182061
x17=97.3893722612836x_{17} = 97.3893722612836
x18=−128.805298797182x_{18} = -128.805298797182
x19=109.955742875643x_{19} = 109.955742875643
x20=9.42477796076938x_{20} = 9.42477796076938
x21=−65.9734457253857x_{21} = -65.9734457253857
x22=−91.106186954104x_{22} = -91.106186954104
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos((x - pi)/4).
cos⁡((−1)π4)\cos{\left(\frac{\left(-1\right) \pi}{4} \right)}
Resultado:
f(0)=22f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Punto:
(0, sqrt(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x−π4)4=0- \frac{\sin{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=5πx_{2} = 5 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(pi, 1)

(5*pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5πx_{1} = 5 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,π]∪[5π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[5 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π,5π]\left[\pi, 5 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x−π4)16=0- \frac{\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{16} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π]∪[3π,∞)\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π,3π]\left[- \pi, 3 \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x−π4)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x−π4)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos((x - pi)/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x−π4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x−π4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x−π4)=cos⁡(x4+π4)\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = \cos{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)}
- No
cos⁡(x−π4)=−cos⁡(x4+π4)\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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