Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\frac{2 \log{\left(2 x \right)}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 4\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 51916.3468112365$$
$$x_{2} = 45406.5763389929$$
$$x_{3} = 46493.8995786993$$
$$x_{4} = 50833.648576367$$
$$x_{5} = 24497.2384286511$$
$$x_{6} = 34470.4938326197$$
$$x_{7} = 48665.6216211427$$
$$x_{8} = 31162.7580258915$$
$$x_{9} = 32266.9724429873$$
$$x_{10} = 44318.2337903713$$
$$x_{11} = 54079.2409486521$$
$$x_{12} = 30056.7971231623$$
$$x_{13} = 35569.9505923934$$
$$x_{14} = 37764.5890303929$$
$$x_{15} = 36667.9617989904$$
$$x_{16} = 47580.237362072$$
$$x_{17} = 1.10808468250909$$
$$x_{18} = 38859.8894768897$$
$$x_{19} = 52998.2028323785$$
$$x_{20} = 49750.082517267$$
$$x_{21} = 33369.5250720887$$
$$x_{22} = 26727.4682610367$$
$$x_{23} = 41046.7193265638$$
$$x_{24} = 27839.2580090367$$
$$x_{25} = 25613.5064958125$$
$$x_{26} = 43228.8359932404$$
$$x_{27} = 42138.3447356692$$
$$x_{28} = 28948.997419595$$
$$x_{29} = 39953.9163642546$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 4$$
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(2 x \right)}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 4\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 4}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(2 x \right)}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 4\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x - 4}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.10808468250909\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1.10808468250909, \infty\right)$$