Sr Examen

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ln(x)/(x^1/2)
Trazado el gráfico de la función/ ln(x)/(x^1/2)

Gráfico de la función y = ln(x)/(x^1/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x)
f(x) = ------
         ___ 
       \/ x
f(x)=log⁡(x)xf{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} 
f = log(x)/sqrt(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)x=0\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/sqrt(x).
log⁡(0)0\frac{\log{\left(0 \right)}}{\sqrt{0}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1xx−log⁡(x)2x32=0\frac{1}{\sqrt{x} x} - \frac{\log{\left(x \right)}}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e2x_{1} = e^{2}
Signos de extremos en los puntos:
  2     -1 
(e, 2*e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=e2x_{1} = e^{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,e2]\left(-\infty, e^{2}\right]
Crece en los intervalos
[e2,∞)\left[e^{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3log⁡(x)4−2x52=0\frac{\frac{3 \log{\left(x \right)}}{4} - 2}{x^{\frac{5}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e83x_{1} = e^{\frac{8}{3}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(3log⁡(x)4−2x52)=∞i\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{3 \log{\left(x \right)}}{4} - 2}{x^{\frac{5}{2}}}\right) = \infty i
lim⁡x→0+(3log⁡(x)4−2x52)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{3 \log{\left(x \right)}}{4} - 2}{x^{\frac{5}{2}}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[e83,∞)\left[e^{\frac{8}{3}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,e83]\left(-\infty, e^{\frac{8}{3}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/sqrt(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x} x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x} x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)x=log⁡(−x)−x\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{\sqrt{- x}}
- No
log⁡(x)x=−log⁡(−x)−x\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{\sqrt{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(x)/(x^1/2)
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