Sr Examen

Otras calculadoras

ln(x/(x-3))-2
Trazado el gráfico de la función/ ln(x/(x-3))-2

Gráfico de la función y = ln(x/(x-3))-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  x  \    
f(x) = log|-----| - 2
          \x - 3/
f(x)=log⁡(xx−3)−2f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2 
f = log(x/(x - 3)) - 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(xx−3)−2=0\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3e21−e2x_{1} = - \frac{3 e^{2}}{1 - e^{2}}
Solución numérica
x1=3.469552928249x_{1} = 3.469552928249
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x/(x - 3)) - 2.
log⁡(0−3)−2\log{\left(\frac{0}{-3} \right)} - 2
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−3)(−x(x−3)2+1x−3)x=0\frac{\left(x - 3\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{x - 3}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(xx−3−1)(1x−3+1x)x=0\frac{\left(\frac{x}{x - 3} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=3x_{1} = 3

lim⁡x→3−((xx−3−1)(1x−3+1x)x)=∞\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 3} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty
lim⁡x→3+((xx−3−1)(1x−3+1x)x)=∞\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(\frac{x}{x - 3} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[32,∞)\left[\frac{3}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,32]\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(xx−3)−2)=−2\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−2y = -2
lim⁡x→∞(log⁡(xx−3)−2)=−2\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−2y = -2
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x/(x - 3)) - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(xx−3)−2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(xx−3)−2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(xx−3)−2=log⁡(−x−x−3)−2\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2 = \log{\left(- \frac{x}{- x - 3} \right)} - 2
- No
log⁡(xx−3)−2=2−log⁡(−x−x−3)\log{\left(\frac{x}{x - 3} \right)} - 2 = 2 - \log{\left(- \frac{x}{- x - 3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(x/(x-3))-2
    © Sr Examen – Калькулятор