El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: (3x4−x2)+4=0 Resolvermos esta ecuación Solución no hallada, puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en 3*x^4 - x^2 + 4. (3⋅04−02)+4 Resultado: f(0)=4 Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada 12x3−2x=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=0 x2=−66 x3=66 Signos de extremos en los puntos:
(0, 4)
___
-\/ 6 47
(-------, --)
6 12
___
\/ 6 47
(-----, --)
6 12
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo: Puntos mínimos de la función: x1=−66 x2=66 Puntos máximos de la función: x2=0 Decrece en los intervalos [−66,0]∪[66,∞) Crece en los intervalos (−∞,−66]∪[0,66]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada 2(18x2−1)=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=−62 x2=62
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: Cóncava en los intervalos (−∞,−62]∪[62,∞) Convexa en los intervalos [−62,62]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim((3x4−x2)+4)=∞ Tomamos como el límite es decir, no hay asíntota horizontal a la izquierda x→∞lim((3x4−x2)+4)=∞ Tomamos como el límite es decir, no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*x^4 - x^2 + 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(x(3x4−x2)+4)=−∞ Tomamos como el límite es decir, no hay asíntota inclinada a la izquierda x→∞lim(x(3x4−x2)+4)=∞ Tomamos como el límite es decir, no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: (3x4−x2)+4=(3x4−x2)+4 - Sí (3x4−x2)+4=(−3x4+x2)−4 - No es decir, función es par