Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
x*(-1-log(x))
-
e^3*x+10*e^2*x
-
-cos(2*x)-sin(2*x)
-
Expresiones idénticas
- uno / dos cosx/2sinx/2
- 1 dividir por 2 coseno de x dividir por 2 seno de x dividir por 2
- uno dividir por dos coseno de x dividir por 2 seno de x dividir por 2
- 1 dividir por 2cosx dividir por 2sinx dividir por 2
Gráfico de la función y = 1/2cosx/2sinx/2
Solución
Ha introducido
[src]
/cos(x)\
|------|
\ 2 /
--------*sin(x)
2
f(x) = ---------------
2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(x \right)}}{2}$$
f = (((cos(x)/2)/2)*sin(x))/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -97.3893722612836$$
$$x_{2} = -43.9822971502571$$
$$x_{3} = -29.845130209103$$
$$x_{4} = 56.5486677646163$$
$$x_{5} = 28.2743338823081$$
$$x_{6} = 29.845130209103$$
$$x_{7} = -81.6814089933346$$
$$x_{8} = -15.707963267949$$
$$x_{9} = 72.2566310325652$$
$$x_{10} = -39.2699081698724$$
$$x_{11} = 95.8185759344887$$
$$x_{12} = 45.553093477052$$
$$x_{13} = -53.4070751110265$$
$$x_{14} = 100.530964914873$$
$$x_{15} = -9.42477796076938$$
$$x_{16} = 81.6814089933346$$
$$x_{17} = 70.6858347057703$$
$$x_{18} = -21.9911485751286$$
$$x_{19} = -14.1371669411541$$
$$x_{20} = -119.380520836412$$
$$x_{21} = 42.4115008234622$$
$$x_{22} = -72.2566310325652$$
$$x_{23} = 15.707963267949$$
$$x_{24} = 50.2654824574367$$
$$x_{25} = -28.2743338823081$$
$$x_{26} = -6.28318530717959$$
$$x_{27} = -17.2787595947439$$
$$x_{28} = -48.6946861306418$$
$$x_{29} = 590.619418874881$$
$$x_{30} = -80.1106126665397$$
$$x_{31} = 113.097335529233$$
$$x_{32} = -87.9645943005142$$
$$x_{33} = 48.6946861306418$$
$$x_{34} = -20.4203522483337$$
$$x_{35} = 0$$
$$x_{36} = 20.4203522483337$$
$$x_{37} = 89.5353906273091$$
$$x_{38} = 31.4159265358979$$
$$x_{39} = -65.9734457253857$$
$$x_{40} = -73.8274273593601$$
$$x_{41} = 6.28318530717959$$
$$x_{42} = -67.5442420521806$$
$$x_{43} = -36.1283155162826$$
$$x_{44} = 94.2477796076938$$
$$x_{45} = -61.261056745001$$
$$x_{46} = 65.9734457253857$$
$$x_{47} = 36.1283155162826$$
$$x_{48} = 26.7035375555132$$
$$x_{49} = 21.9911485751286$$
$$x_{50} = 78.5398163397448$$
$$x_{51} = -89.5353906273091$$
$$x_{52} = 4.71238898038469$$
$$x_{53} = 7.85398163397448$$
$$x_{54} = 14.1371669411541$$
$$x_{55} = 86.3937979737193$$
$$x_{56} = 87.9645943005142$$
$$x_{57} = 12.5663706143592$$
$$x_{58} = -483.805268652828$$
$$x_{59} = 51.8362787842316$$
$$x_{60} = -37.6991118430775$$
$$x_{61} = -51.8362787842316$$
$$x_{62} = -1.5707963267949$$
$$x_{63} = 59.6902604182061$$
$$x_{64} = -23.5619449019235$$
$$x_{65} = 64.4026493985908$$
$$x_{66} = 43.9822971502571$$
$$x_{67} = -50.2654824574367$$
$$x_{68} = 37.6991118430775$$
$$x_{69} = -95.8185759344887$$
$$x_{70} = -64.4026493985908$$
$$x_{71} = 80.1106126665397$$
$$x_{72} = -40.8407044966673$$
$$x_{73} = 73.8274273593601$$
$$x_{74} = -59.6902604182061$$
$$x_{75} = -7.85398163397448$$
$$x_{76} = -75.398223686155$$
$$x_{77} = -86.3937979737193$$
$$x_{78} = 23.5619449019235$$
$$x_{79} = 92.6769832808989$$
$$x_{80} = -45.553093477052$$
$$x_{81} = -83.2522053201295$$
$$x_{82} = 1.5707963267949$$
$$x_{83} = -58.1194640914112$$
$$x_{84} = 58.1194640914112$$
$$x_{85} = -94.2477796076938$$
$$x_{86} = -42.4115008234622$$
$$x_{87} = 67.5442420521806$$
$$x_{88} = 34.5575191894877$$
$$x_{89} = -31.4159265358979$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -97.3893722612836$$
$$x_{2} = -43.9822971502571$$
$$x_{3} = -29.845130209103$$
$$x_{4} = 56.5486677646163$$
$$x_{5} = 28.2743338823081$$
$$x_{6} = 29.845130209103$$
$$x_{7} = -81.6814089933346$$
$$x_{8} = -15.707963267949$$
$$x_{9} = 72.2566310325652$$
$$x_{10} = -39.2699081698724$$
$$x_{11} = 95.8185759344887$$
$$x_{12} = 45.553093477052$$
$$x_{13} = -53.4070751110265$$
$$x_{14} = 100.530964914873$$
$$x_{15} = -9.42477796076938$$
$$x_{16} = 81.6814089933346$$
$$x_{17} = 70.6858347057703$$
$$x_{18} = -21.9911485751286$$
$$x_{19} = -14.1371669411541$$
$$x_{20} = -119.380520836412$$
$$x_{21} = 42.4115008234622$$
$$x_{22} = -72.2566310325652$$
$$x_{23} = 15.707963267949$$
$$x_{24} = 50.2654824574367$$
$$x_{25} = -28.2743338823081$$
$$x_{26} = -6.28318530717959$$
$$x_{27} = -17.2787595947439$$
$$x_{28} = -48.6946861306418$$
$$x_{29} = 590.619418874881$$
$$x_{30} = -80.1106126665397$$
$$x_{31} = 113.097335529233$$
$$x_{32} = -87.9645943005142$$
$$x_{33} = 48.6946861306418$$
$$x_{34} = -20.4203522483337$$
$$x_{35} = 0$$
$$x_{36} = 20.4203522483337$$
$$x_{37} = 89.5353906273091$$
$$x_{38} = 31.4159265358979$$
$$x_{39} = -65.9734457253857$$
$$x_{40} = -73.8274273593601$$
$$x_{41} = 6.28318530717959$$
$$x_{42} = -67.5442420521806$$
$$x_{43} = -36.1283155162826$$
$$x_{44} = 94.2477796076938$$
$$x_{45} = -61.261056745001$$
$$x_{46} = 65.9734457253857$$
$$x_{47} = 36.1283155162826$$
$$x_{48} = 26.7035375555132$$
$$x_{49} = 21.9911485751286$$
$$x_{50} = 78.5398163397448$$
$$x_{51} = -89.5353906273091$$
$$x_{52} = 4.71238898038469$$
$$x_{53} = 7.85398163397448$$
$$x_{54} = 14.1371669411541$$
$$x_{55} = 86.3937979737193$$
$$x_{56} = 87.9645943005142$$
$$x_{57} = 12.5663706143592$$
$$x_{58} = -483.805268652828$$
$$x_{59} = 51.8362787842316$$
$$x_{60} = -37.6991118430775$$
$$x_{61} = -51.8362787842316$$
$$x_{62} = -1.5707963267949$$
$$x_{63} = 59.6902604182061$$
$$x_{64} = -23.5619449019235$$
$$x_{65} = 64.4026493985908$$
$$x_{66} = 43.9822971502571$$
$$x_{67} = -50.2654824574367$$
$$x_{68} = 37.6991118430775$$
$$x_{69} = -95.8185759344887$$
$$x_{70} = -64.4026493985908$$
$$x_{71} = 80.1106126665397$$
$$x_{72} = -40.8407044966673$$
$$x_{73} = 73.8274273593601$$
$$x_{74} = -59.6902604182061$$
$$x_{75} = -7.85398163397448$$
$$x_{76} = -75.398223686155$$
$$x_{77} = -86.3937979737193$$
$$x_{78} = 23.5619449019235$$
$$x_{79} = 92.6769832808989$$
$$x_{80} = -45.553093477052$$
$$x_{81} = -83.2522053201295$$
$$x_{82} = 1.5707963267949$$
$$x_{83} = -58.1194640914112$$
$$x_{84} = 58.1194640914112$$
$$x_{85} = -94.2477796076938$$
$$x_{86} = -42.4115008234622$$
$$x_{87} = 67.5442420521806$$
$$x_{88} = 34.5575191894877$$
$$x_{89} = -31.4159265358979$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{8} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{8} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
-pi (----, -1/16) 4
pi (--, 1/16) 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((cos(x)/2)/2)*sin(x))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(x \right)}}{2} = - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8}$$
- No
$$\frac{\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(x \right)}}{2} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(x \right)}}{2} = - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8}$$
- No
$$\frac{\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{2} \sin{\left(x \right)}}{2} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar