Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
y=x^3-3x^2+4
-
e^x/x
-
5-x
- Integral de d{x}:
- (x^3-1)/(x^2-2*x-3)
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres - uno)/(x^ dos - dos *x- tres)
- (x al cubo menos 1) dividir por (x al cuadrado menos 2 multiplicar por x menos 3)
- (x en el grado tres menos uno) dividir por (x en el grado dos menos dos multiplicar por x menos tres)
- (x3-1)/(x2-2*x-3)
- x3-1/x2-2*x-3
- (x³-1)/(x²-2*x-3)
- (x en el grado 3-1)/(x en el grado 2-2*x-3)
- (x^3-1)/(x^2-2x-3)
- (x3-1)/(x2-2x-3)
- x3-1/x2-2x-3
- x^3-1/x^2-2x-3
- (x^3-1) dividir por (x^2-2*x-3)
-
Expresiones semejantes
- (x^3-1)/(x^2+2*x-3)
- (x^3-1)/(x^2-2*x+3)
- (x^3+1)/(x^2-2*x-3)
Gráfico de la función y = (x^3-1)/(x^2-2*x-3)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x - 1
f(x) = ------------
2
x - 2*x - 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}$$
f = (x^3 - 1)/(x^2 - 2*x - 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3} + \frac{\left(2 - 2 x\right) \left(x^{3} - 1\right)}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1, \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3} + \frac{\left(2 - 2 x\right) \left(x^{3} - 1\right)}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$$
Signos de extremos en los puntos:
3
/ ______________ ___\
| / 27 ___ \/ 3 |
______________ ___ -1 + |1 + / -- + 4*\/ 3 + -----|
/ 27 ___ \/ 3 \ \/ 4 2 /
(1 + / -- + 4*\/ 3 + -----, ---------------------------------------------------------------------)
\/ 4 2 2
/ ______________ ___\ ______________
| / 27 ___ \/ 3 | ___ / 27 ___
-5 + |1 + / -- + 4*\/ 3 + -----| - \/ 3 - 2* / -- + 4*\/ 3
\ \/ 4 2 / \/ 4 3
/ ___ ______________\
| \/ 3 / 27 ___ |
___ ______________ -1 + |1 + ----- - / -- + 4*\/ 3 |
\/ 3 / 27 ___ \ 2 \/ 4 /
(1 + ----- - / -- + 4*\/ 3 , ---------------------------------------------------------------------)
2 \/ 4 2
/ ___ ______________\ ______________
| \/ 3 / 27 ___ | ___ / 27 ___
-5 + |1 + ----- - / -- + 4*\/ 3 | - \/ 3 + 2* / -- + 4*\/ 3
\ 2 \/ 4 / \/ 4 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1, \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{\frac{27}{4} + 4 \sqrt{3}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(\frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 3} + 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right)}{- x^{2} + 2 x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{7} - \frac{2 \sqrt[3]{13}}{7} + \frac{2 \cdot 13^{\frac{2}{3}}}{7}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{2 \left(\frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 3} + 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{2 \left(\frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 3} + 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(- \frac{2 \left(\frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 3} + 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{2 \left(\frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 3} + 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5}{7} - \frac{2 \sqrt[3]{13}}{7} + \frac{2 \cdot 13^{\frac{2}{3}}}{7}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{5}{7} - \frac{2 \sqrt[3]{13}}{7} + \frac{2 \cdot 13^{\frac{2}{3}}}{7}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(\frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 3} + 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right)}{- x^{2} + 2 x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{7} - \frac{2 \sqrt[3]{13}}{7} + \frac{2 \cdot 13^{\frac{2}{3}}}{7}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{2 \left(\frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 3} + 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{2 \left(\frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 3} + 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(- \frac{2 \left(\frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 3} + 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{2 \left(\frac{6 x^{2} \left(x - 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 3} + 1\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right)}{- x^{2} + 2 x + 3}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5}{7} - \frac{2 \sqrt[3]{13}}{7} + \frac{2 \cdot 13^{\frac{2}{3}}}{7}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{5}{7} - \frac{2 \sqrt[3]{13}}{7} + \frac{2 \cdot 13^{\frac{2}{3}}}{7}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - 1)/(x^2 - 2*x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 3\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3} = \frac{- x^{3} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$$
- No
$$\frac{x^{3} - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3} = - \frac{- x^{3} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3} = \frac{- x^{3} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$$
- No
$$\frac{x^{3} - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 3} = - \frac{- x^{3} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico