Sr Examen

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1/cos(x^2)
Trazado el gráfico de la función/ 1/cos(x^2)

Gráfico de la función y = 1/cos(x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          1   
f(x) = -------
          / 2\
       cos\x /
f(x)=1cos⁡(x2)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos{\left(x^{2} \right)}} 
f = 1/cos(x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1cos⁡(x2)=0\frac{1}{\cos{\left(x^{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/cos(x^2).
1cos⁡(02)\frac{1}{\cos{\left(0^{2} \right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xsin⁡(x2)cos⁡2(x2)=0\frac{2 x \sin{\left(x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−πx_{2} = - \sqrt{\pi}
x3=πx_{3} = \sqrt{\pi}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

    ____     
(-\/ pi, -1)

   ____     
(\/ pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x3=−πx_{3} = - \sqrt{\pi}
x3=πx_{3} = \sqrt{\pi}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π]\left(-\infty, - \sqrt{\pi}\right]
Crece en los intervalos
[π,∞)\left[\sqrt{\pi}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x2sin⁡2(x2)cos⁡2(x2)+2x2+sin⁡(x2)cos⁡(x2))cos⁡(x2)=0\frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)}} + 2 x^{2} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right)}{\cos{\left(x^{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2.1708037636748x_{1} = -2.1708037636748
x2=−1.2533141373155x_{2} = -1.2533141373155
x3=1.2533141373155x_{3} = 1.2533141373155
x4=2.1708037636748x_{4} = 2.1708037636748

lim⁡x→−2.1708037636748−(2(4x2sin⁡2(x2)cos⁡2(x2)+2x2+sin⁡(x2)cos⁡(x2))cos⁡(x2))=−3.06124549676143⋅1046\lim_{x \to -2.1708037636748^-}\left(\frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)}} + 2 x^{2} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right)}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right) = -3.06124549676143 \cdot 10^{46}
lim⁡x→−2.1708037636748+(2(4x2sin⁡2(x2)cos⁡2(x2)+2x2+sin⁡(x2)cos⁡(x2))cos⁡(x2))=−3.06124549676143⋅1046\lim_{x \to -2.1708037636748^+}\left(\frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)}} + 2 x^{2} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right)}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right) = -3.06124549676143 \cdot 10^{46}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→−1.2533141373155−(2(4x2sin⁡2(x2)cos⁡2(x2)+2x2+sin⁡(x2)cos⁡(x2))cos⁡(x2))=−3.0217070480758⋅1048\lim_{x \to -1.2533141373155^-}\left(\frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)}} + 2 x^{2} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right)}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right) = -3.0217070480758 \cdot 10^{48}
lim⁡x→−1.2533141373155+(2(4x2sin⁡2(x2)cos⁡2(x2)+2x2+sin⁡(x2)cos⁡(x2))cos⁡(x2))=−3.0217070480758⋅1048\lim_{x \to -1.2533141373155^+}\left(\frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)}} + 2 x^{2} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right)}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right) = -3.0217070480758 \cdot 10^{48}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→1.2533141373155−(2(4x2sin⁡2(x2)cos⁡2(x2)+2x2+sin⁡(x2)cos⁡(x2))cos⁡(x2))=−3.0217070480758⋅1048\lim_{x \to 1.2533141373155^-}\left(\frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)}} + 2 x^{2} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right)}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right) = -3.0217070480758 \cdot 10^{48}
lim⁡x→1.2533141373155+(2(4x2sin⁡2(x2)cos⁡2(x2)+2x2+sin⁡(x2)cos⁡(x2))cos⁡(x2))=−3.0217070480758⋅1048\lim_{x \to 1.2533141373155^+}\left(\frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)}} + 2 x^{2} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right)}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right) = -3.0217070480758 \cdot 10^{48}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→2.1708037636748−(2(4x2sin⁡2(x2)cos⁡2(x2)+2x2+sin⁡(x2)cos⁡(x2))cos⁡(x2))=−3.06124549676143⋅1046\lim_{x \to 2.1708037636748^-}\left(\frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)}} + 2 x^{2} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right)}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right) = -3.06124549676143 \cdot 10^{46}
lim⁡x→2.1708037636748+(2(4x2sin⁡2(x2)cos⁡2(x2)+2x2+sin⁡(x2)cos⁡(x2))cos⁡(x2))=−3.06124549676143⋅1046\lim_{x \to 2.1708037636748^+}\left(\frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \sin^{2}{\left(x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)}} + 2 x^{2} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right)}{\cos{\left(x^{2} \right)}}\right) = -3.06124549676143 \cdot 10^{46}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2.1708037636748x_{1} = -2.1708037636748
x2=−1.2533141373155x_{2} = -1.2533141373155
x3=1.2533141373155x_{3} = 1.2533141373155
x4=2.1708037636748x_{4} = 2.1708037636748
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1cos⁡(x2)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\cos{\left(x^{2} \right)}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞1cos⁡(x2)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\cos{\left(x^{2} \right)}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/cos(x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(1xcos⁡(x2))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \cos{\left(x^{2} \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(1xcos⁡(x2))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \cos{\left(x^{2} \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1cos⁡(x2)=1cos⁡(x2)\frac{1}{\cos{\left(x^{2} \right)}} = \frac{1}{\cos{\left(x^{2} \right)}}
- Sí
1cos⁡(x2)=−1cos⁡(x2)\frac{1}{\cos{\left(x^{2} \right)}} = - \frac{1}{\cos{\left(x^{2} \right)}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 1/cos(x^2)
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