Sr Examen

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Gráfico de la función y = ((x-2)*(x-3))/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       (x - 2)*(x - 3)
f(x) = ---------------
            x - 1     
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}{x - 1}$$
f = ((x - 3)*(x - 2))/(x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 2)*(x - 3))/(x - 1).
$$\frac{\left(-3\right) \left(-1\right) 2}{-1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -6$$
Punto:
(0, -6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{2 x - 5}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
               ___ /       ___\ /       ___\  
       ___  -\/ 2 *\-1 - \/ 2 /*\-2 - \/ 2 /  
(1 - \/ 2, ---------------------------------)
                            2                 

              ___ /       ___\ /       ___\ 
       ___  \/ 2 *\-1 + \/ 2 /*\-2 + \/ 2 / 
(1 + \/ 2, -------------------------------)
                           2                


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 - \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{2}\right] \cup \left[1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x - 5}{x - 1}\right)}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}{x - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 2)*(x - 3))/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}{x - 1} = \frac{\left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right)}{- x - 1}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}{x - 1} = - \frac{\left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right)}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar