Sr Examen

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Gráfico de la función y = (|12x-1/(3*x)|-12x-1/(3x))/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       |        1 |           1 
       |12*x - ---| - 12*x - ---
       |       3*x|          3*x
f(x) = -------------------------
                   2            
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(- 12 x + \left|{12 x - \frac{1}{3 x}}\right|\right) - \frac{1}{3 x}}{2}$$
f = (-12*x + Abs(12*x - 1/(3*x)) - 1/(3*x))/2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 12 x + \left|{12 x - \frac{1}{3 x}}\right|\right) - \frac{1}{3 x}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (Abs(12*x - 1/(3*x)) - 12*x - 1/(3*x))/2.
$$\frac{\left(\left|{0 \cdot 12 - \frac{1}{0 \cdot 3}}\right| - 0\right) - \frac{1}{0 \cdot 3}}{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(12 + \frac{1}{3 x^{2}}\right) \left(12 x - \frac{1}{3 x}\right)}{2 \sqrt{144 x^{2} - 8 + \frac{1}{9 x^{2}}}} - 6 + \frac{1}{6 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 12 x + \left|{12 x - \frac{1}{3 x}}\right|\right) - \frac{1}{3 x}}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 12 x + \left|{12 x - \frac{1}{3 x}}\right|\right) - \frac{1}{3 x}}{2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (Abs(12*x - 1/(3*x)) - 12*x - 1/(3*x))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 12 x + \left|{12 x - \frac{1}{3 x}}\right|\right) - \frac{1}{3 x}}{2 x}\right) = -12$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 12 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 12 x + \left|{12 x - \frac{1}{3 x}}\right|\right) - \frac{1}{3 x}}{2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 12 x + \left|{12 x - \frac{1}{3 x}}\right|\right) - \frac{1}{3 x}}{2} = 6 x + \frac{\left|{12 x - \frac{1}{3 x}}\right|}{2} + \frac{1}{6 x}$$
- No
$$\frac{\left(- 12 x + \left|{12 x - \frac{1}{3 x}}\right|\right) - \frac{1}{3 x}}{2} = - 6 x - \frac{\left|{12 x - \frac{1}{3 x}}\right|}{2} - \frac{1}{6 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar