Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
3/(x^2+1)
- Derivada de:
-
x^2*(x-1)/(x+1)^2
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *(x- uno)/(x+ uno)^ dos
- x al cuadrado multiplicar por (x menos 1) dividir por (x más 1) al cuadrado
- x en el grado dos multiplicar por (x menos uno) dividir por (x más uno) en el grado dos
- x2*(x-1)/(x+1)2
- x2*x-1/x+12
- x²*(x-1)/(x+1)²
- x en el grado 2*(x-1)/(x+1) en el grado 2
- x^2(x-1)/(x+1)^2
- x2(x-1)/(x+1)2
- x2x-1/x+12
- x^2x-1/x+1^2
- x^2*(x-1) dividir por (x+1)^2
-
Expresiones semejantes
- x^2*(x+1)/(x+1)^2
- x^2*(x-1)/(x-1)^2
Gráfico de la función y = x^2*(x-1)/(x+1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
x *(x - 1)
f(x) = ----------
2
(x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$$
f = (x^2*(x - 1))/(x + 1)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{2} \left(- 2 x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{2}\right] \cup \left[- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{2} \left(- 2 x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
2
/ ____\ / ____\
| 3 \/ 17 | | 5 \/ 17 |
____ |- - + ------| *|- - + ------|
3 \/ 17 \ 2 2 / \ 2 2 /
(- - + ------, ------------------------------)
2 2 2
/ ____\
| 1 \/ 17 |
|- - + ------|
\ 2 2 / 2
/ ____\ / ____\
| 3 \/ 17 | | 5 \/ 17 |
____ |- - - ------| *|- - - ------|
3 \/ 17 \ 2 2 / \ 2 2 /
(- - - ------, ------------------------------)
2 2 2
/ ____\
| 1 \/ 17 |
|- - - ------|
\ 2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{2}\right] \cup \left[- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{2 x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{5}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{2 x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{2 x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{5}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{2 x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{5}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{2 x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{2 x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{5}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2*(x - 1))/(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{x^{2} \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{x^{2} \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{x^{2} \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{x^{2} \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico