Sr Examen

Otras calculadoras

x^2*(x-1)/(x+1)^2

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • -x^2+3*x -x^2+3*x
  • x^2-2*x+8 x^2-2*x+8
  • y=x y=x
  • y=x³-3x² y=x³-3x²
  • Derivada de:
  • x^2*(x-1)/(x+1)^2 x^2*(x-1)/(x+1)^2

  • Expresiones idénticas

  • x^ dos *(x- uno)/(x+ uno)^ dos
  • x al cuadrado multiplicar por (x menos 1) dividir por (x más 1) al cuadrado
  • x en el grado dos multiplicar por (x menos uno) dividir por (x más uno) en el grado dos
  • x2*(x-1)/(x+1)2
  • x2*x-1/x+12
  • x²*(x-1)/(x+1)²
  • x en el grado 2*(x-1)/(x+1) en el grado 2
  • x^2(x-1)/(x+1)^2
  • x2(x-1)/(x+1)2
  • x2x-1/x+12
  • x^2x-1/x+1^2
  • x^2*(x-1) dividir por (x+1)^2

  • Expresiones semejantes

  • x^2*(x-1)/(x-1)^2
  • x^2*(x+1)/(x+1)^2
Trazado el gráfico de la función/ x^2*(x-1)/(x+1)^2

Gráfico de la función y = x^2*(x-1)/(x+1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2        
       x *(x - 1)
f(x) = ----------
               2 
        (x + 1)
f(x)=x2(x−1)(x+1)2f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} 
f = (x^2*(x - 1))/(x + 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2(x−1)(x+1)2=0\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2*(x - 1))/(x + 1)^2.
(−1)0212\frac{\left(-1\right) 0^{2}}{1^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2(−2x−2)(x−1)(x+1)4+x2+2x(x−1)(x+1)2=0\frac{x^{2} \left(- 2 x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−32+172x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}
x3=−172−32x_{3} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

                             2                
               /        ____\  /        ____\ 
               |  3   \/ 17 |  |  5   \/ 17 | 
         ____  |- - + ------| *|- - + ------| 
   3   \/ 17   \  2     2   /  \  2     2   / 
(- - + ------, ------------------------------)
   2     2                          2         
                      /        ____\          
                      |  1   \/ 17 |          
                      |- - + ------|          
                      \  2     2   /          

                             2                
               /        ____\  /        ____\ 
               |  3   \/ 17 |  |  5   \/ 17 | 
         ____  |- - - ------| *|- - - ------| 
   3   \/ 17   \  2     2   /  \  2     2   / 
(- - - ------, ------------------------------)
   2     2                          2         
                      /        ____\          
                      |  1   \/ 17 |          
                      |- - - ------|          
                      \  2     2   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−32+172x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
x1=−172−32x_{1} = - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−172−32]∪[−32+172,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{2}\right] \cup \left[- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,−32+172]\left[0, - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x2(x−1)(x+1)2+3x−2x(3x−2)x+1−1)(x+1)2=0\frac{2 \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{2 x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=15x_{1} = \frac{1}{5}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2(3x2(x−1)(x+1)2+3x−2x(3x−2)x+1−1)(x+1)2)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{2 x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(2(3x2(x−1)(x+1)2+3x−2x(3x−2)x+1−1)(x+1)2)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{2 x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[15,∞)\left[\frac{1}{5}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,15]\left(-\infty, \frac{1}{5}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2(x−1)(x+1)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2(x−1)(x+1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2*(x - 1))/(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x(x−1)(x+1)2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x(x−1)(x+1)2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2(x−1)(x+1)2=x2(−x−1)(1−x)2\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{x^{2} \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}
- No
x2(x−1)(x+1)2=−x2(−x−1)(1−x)2\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{x^{2} \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2*(x-1)/(x+1)^2
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