Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=3x^2-x^3
-
3-x^2
-
1/((x-1)^2)
- Límite de la función:
-
(10+x^2-7*x)/(11+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (diez +x^ dos - siete *x)/(once +x^ dos)
- (10 más x al cuadrado menos 7 multiplicar por x) dividir por (11 más x al cuadrado )
- (diez más x en el grado dos menos siete multiplicar por x) dividir por (once más x en el grado dos)
- (10+x2-7*x)/(11+x2)
- 10+x2-7*x/11+x2
- (10+x²-7*x)/(11+x²)
- (10+x en el grado 2-7*x)/(11+x en el grado 2)
- (10+x^2-7x)/(11+x^2)
- (10+x2-7x)/(11+x2)
- 10+x2-7x/11+x2
- 10+x^2-7x/11+x^2
- (10+x^2-7*x) dividir por (11+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (10-x^2-7*x)/(11+x^2)
- (10+x^2-7*x)/(11-x^2)
- (10+x^2+7*x)/(11+x^2)
Gráfico de la función y = (10+x^2-7*x)/(11+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
10 + x - 7*x
f(x) = -------------
2
11 + x
$$f{\left(x \right)} = \frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x^{2} + 11}$$
f = (-7*x + x^2 + 10)/(x^2 + 11)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x^{2} + 11} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x^{2} + 11} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)\right)}{\left(x^{2} + 11\right)^{2}} + \frac{2 x - 7}{x^{2} + 11} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{7} + \frac{6 \sqrt{15}}{7}$$
$$x_{2} = - \frac{6 \sqrt{15}}{7} - \frac{1}{7}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{7} + \frac{6 \sqrt{15}}{7}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{6 \sqrt{15}}{7} - \frac{1}{7}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{6 \sqrt{15}}{7} - \frac{1}{7}\right] \cup \left[- \frac{1}{7} + \frac{6 \sqrt{15}}{7}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{6 \sqrt{15}}{7} - \frac{1}{7}, - \frac{1}{7} + \frac{6 \sqrt{15}}{7}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)\right)}{\left(x^{2} + 11\right)^{2}} + \frac{2 x - 7}{x^{2} + 11} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{7} + \frac{6 \sqrt{15}}{7}$$
$$x_{2} = - \frac{6 \sqrt{15}}{7} - \frac{1}{7}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ ____\
| 1 6*\/ 15 | ____
____ 11 + |- - + --------| - 6*\/ 15
1 6*\/ 15 \ 7 7 /
(- - + --------, ---------------------------------)
7 7 2
/ ____\
| 1 6*\/ 15 |
11 + |- - + --------|
\ 7 7 / 2
/ ____\
| 1 6*\/ 15 | ____
____ 11 + |- - - --------| + 6*\/ 15
1 6*\/ 15 \ 7 7 /
(- - - --------, ---------------------------------)
7 7 2
/ ____\
| 1 6*\/ 15 |
11 + |- - - --------|
\ 7 7 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{7} + \frac{6 \sqrt{15}}{7}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{6 \sqrt{15}}{7} - \frac{1}{7}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{6 \sqrt{15}}{7} - \frac{1}{7}\right] \cup \left[- \frac{1}{7} + \frac{6 \sqrt{15}}{7}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{6 \sqrt{15}}{7} - \frac{1}{7}, - \frac{1}{7} + \frac{6 \sqrt{15}}{7}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x \left(2 x - 7\right)}{x^{2} + 11} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 11} - 1\right) \left(x^{2} - 7 x + 10\right)}{x^{2} + 11}\right)}{x^{2} + 11} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{7} - \frac{\sqrt[3]{\frac{14580}{343} + \frac{14580 \sqrt{11} i}{49}}}{3} - \frac{1620}{49 \sqrt[3]{\frac{14580}{343} + \frac{14580 \sqrt{11} i}{49}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{12 \sqrt{15} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(7 \sqrt{11} \right)}}{3} \right)}}{7} - \frac{1}{7}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{12 \sqrt{15} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(7 \sqrt{11} \right)}}{3} \right)}}{7} - \frac{1}{7}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x \left(2 x - 7\right)}{x^{2} + 11} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 11} - 1\right) \left(x^{2} - 7 x + 10\right)}{x^{2} + 11}\right)}{x^{2} + 11} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{7} - \frac{\sqrt[3]{\frac{14580}{343} + \frac{14580 \sqrt{11} i}{49}}}{3} - \frac{1620}{49 \sqrt[3]{\frac{14580}{343} + \frac{14580 \sqrt{11} i}{49}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{12 \sqrt{15} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(7 \sqrt{11} \right)}}{3} \right)}}{7} - \frac{1}{7}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{12 \sqrt{15} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(7 \sqrt{11} \right)}}{3} \right)}}{7} - \frac{1}{7}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x^{2} + 11}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x^{2} + 11}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x^{2} + 11}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x^{2} + 11}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (10 + x^2 - 7*x)/(11 + x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x \left(x^{2} + 11\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x \left(x^{2} + 11\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x \left(x^{2} + 11\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x \left(x^{2} + 11\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x^{2} + 11} = \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} + 11}$$
- No
$$\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x^{2} + 11} = - \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} + 11}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x^{2} + 11} = \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} + 11}$$
- No
$$\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 10\right)}{x^{2} + 11} = - \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} + 11}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar