Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
y=x^3-3x^2+4
-
e^x/x
-
5-x
- Derivada de:
-
x^3/(x^2-9)
-
Expresiones idénticas
- x^ tres /(x^ dos - nueve)
- x al cubo dividir por (x al cuadrado menos 9)
- x en el grado tres dividir por (x en el grado dos menos nueve)
- x3/(x2-9)
- x3/x2-9
- x³/(x²-9)
- x en el grado 3/(x en el grado 2-9)
- x^3/x^2-9
- x^3 dividir por (x^2-9)
-
Expresiones semejantes
- x^3/(x^2+9)
Gráfico de la función y = x^3/(x^2-9)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x
f(x) = ------
2
x - 9
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$$
f = x^3/(x^2 - 9)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 8.33788840298969 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 9.07429404372699 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = -9.60558986662377 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -7.88539617102066 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = 6.8584719211059 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -6.41489274300864 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 8.81459486231347 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 0.000134722949144904$$
$$x_{9} = 0.000123736361237601$$
$$x_{10} = 0.000184541910091036$$
$$x_{11} = -9.31461103498244 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = -0.000163012252958411$$
$$x_{13} = 7.01378228845023 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -9.04098595313105 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -8.53986622725984 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = -0.000154590751925325$$
$$x_{17} = -6.5504148685528 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = -6.28490317762518 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 0.000114442977263275$$
$$x_{20} = 0.000196899754316717$$
$$x_{21} = -9.91565507823289 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 0.000147928995385865$$
$$x_{23} = -8.30982112572626 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = 7.52544778638985 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = 0.000102897626160633$$
$$x_{26} = -6.83954441503812 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{27} = -8.09198325333169 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = 0$$
$$x_{29} = -7.6892017270836 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = 6.56776191307577 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -0.000147025538377452$$
$$x_{32} = 0.000118904016923215$$
$$x_{33} = -0.000195259986287809$$
$$x_{34} = -6.99398158054468 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = -0.000183110977982053$$
$$x_{36} = -0.000109816094630191$$
$$x_{37} = 0.00011031124837424$$
$$x_{38} = 9.35000094339708 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{39} = 0.000141007336634412$$
$$x_{40} = -0.000128308038467588$$
$$x_{41} = 8.56953210616912 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{42} = 0.000106473035647675$$
$$x_{43} = 0.000211152746351108$$
$$x_{44} = -8.78318793618923 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = 7.34671744821385 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{46} = -0.000225569151401264$$
$$x_{47} = 7.71318484636565 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = -0.00011390929028315$$
$$x_{49} = -0.000102467817097509$$
$$x_{50} = -0.000106012318186465$$
$$x_{51} = -7.3249769616671 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{52} = 6.30086100095448 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{53} = 7.91063448380903 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{54} = -0.000133977734551484$$
$$x_{55} = 7.17635531110591 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{56} = -0.000172450633076765$$
$$x_{57} = -0.000123110398498934$$
$$x_{58} = -6.69183324657405 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{59} = 6.43152328493294 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{60} = 8.118579096995 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = 0.000164132722947063$$
$$x_{62} = 9.64326622956244 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = -7.50262764541197 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{64} = 6.70994449113144 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{65} = -0.000209251897351936$$
$$x_{66} = -0.00014018887125294$$
$$x_{67} = 0.00012898963497405$$
$$x_{68} = 9.95585069076737 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{69} = 0.000155593675876357$$
$$x_{70} = 0.000173711564152001$$
$$x_{71} = -0.000118327008901393$$
$$x_{72} = -7.15561899215871 \cdot 10^{-5}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 8.33788840298969 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 9.07429404372699 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = -9.60558986662377 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -7.88539617102066 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = 6.8584719211059 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -6.41489274300864 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 8.81459486231347 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 0.000134722949144904$$
$$x_{9} = 0.000123736361237601$$
$$x_{10} = 0.000184541910091036$$
$$x_{11} = -9.31461103498244 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = -0.000163012252958411$$
$$x_{13} = 7.01378228845023 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -9.04098595313105 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -8.53986622725984 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = -0.000154590751925325$$
$$x_{17} = -6.5504148685528 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = -6.28490317762518 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 0.000114442977263275$$
$$x_{20} = 0.000196899754316717$$
$$x_{21} = -9.91565507823289 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 0.000147928995385865$$
$$x_{23} = -8.30982112572626 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = 7.52544778638985 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = 0.000102897626160633$$
$$x_{26} = -6.83954441503812 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{27} = -8.09198325333169 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = 0$$
$$x_{29} = -7.6892017270836 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = 6.56776191307577 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -0.000147025538377452$$
$$x_{32} = 0.000118904016923215$$
$$x_{33} = -0.000195259986287809$$
$$x_{34} = -6.99398158054468 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = -0.000183110977982053$$
$$x_{36} = -0.000109816094630191$$
$$x_{37} = 0.00011031124837424$$
$$x_{38} = 9.35000094339708 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{39} = 0.000141007336634412$$
$$x_{40} = -0.000128308038467588$$
$$x_{41} = 8.56953210616912 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{42} = 0.000106473035647675$$
$$x_{43} = 0.000211152746351108$$
$$x_{44} = -8.78318793618923 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = 7.34671744821385 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{46} = -0.000225569151401264$$
$$x_{47} = 7.71318484636565 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = -0.00011390929028315$$
$$x_{49} = -0.000102467817097509$$
$$x_{50} = -0.000106012318186465$$
$$x_{51} = -7.3249769616671 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{52} = 6.30086100095448 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{53} = 7.91063448380903 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{54} = -0.000133977734551484$$
$$x_{55} = 7.17635531110591 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{56} = -0.000172450633076765$$
$$x_{57} = -0.000123110398498934$$
$$x_{58} = -6.69183324657405 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{59} = 6.43152328493294 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{60} = 8.118579096995 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = 0.000164132722947063$$
$$x_{62} = 9.64326622956244 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = -7.50262764541197 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{64} = 6.70994449113144 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{65} = -0.000209251897351936$$
$$x_{66} = -0.00014018887125294$$
$$x_{67} = 0.00012898963497405$$
$$x_{68} = 9.95585069076737 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{69} = 0.000155593675876357$$
$$x_{70} = 0.000173711564152001$$
$$x_{71} = -0.000118327008901393$$
$$x_{72} = -7.15561899215871 \cdot 10^{-5}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3 \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
___
___ -9*\/ 3
(-3*\/ 3, --------)
2 ___
___ 9*\/ 3
(3*\/ 3, -------)
2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3 \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- 3 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(x^2 - 9), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico