Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*(x-4)
-
x/(x^2-1)^(1/3)
-
x*e^(-((x^2)/2))
-
(x^2-5)/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- x*log2(uno /x)+(uno -x)*log2(uno /(uno -x))
- x multiplicar por logaritmo de 2(1 dividir por x) más (1 menos x) multiplicar por logaritmo de 2(1 dividir por (1 menos x))
- x multiplicar por logaritmo de 2(uno dividir por x) más (uno menos x) multiplicar por logaritmo de 2(uno dividir por (uno menos x))
- xlog2(1/x)+(1-x)log2(1/(1-x))
- xlog21/x+1-xlog21/1-x
- x*log2(1 dividir por x)+(1-x)*log2(1 dividir por (1-x))
-
Expresiones semejantes
- x*log2(1/x)-(1-x)*log2(1/(1-x))
- x*log2(1/x)+(1-x)*log2(1/(1+x))
- x*log2(1/x)+(1+x)*log2(1/(1-x))
Gráfico de la función y = x*log2(1/x)+(1-x)*log2(1/(1-x))
Solución
Ha introducido
[src]
/1\ / 1 \
log|-| log|-----|
\x/ \1 - x/
f(x) = x*------ + (1 - x)*----------
log(2) log(2)
$$f{\left(x \right)} = x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right)$$
f = x*(log(1/x)/log(2)) + (log(1/(1 - x))/log(2))*(1 - x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 1.00000000000002$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 1$$
$$x_{5} = 1$$
$$x_{6} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 1.00000000000002$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 1$$
$$x_{5} = 1$$
$$x_{6} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(1/2, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}}{\log{\left(2 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}}{\log{\left(2 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right)\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right)\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right)\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right)\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*(log(1/x)/log(2)) + (1 - x)*(log(1/(1 - x))/log(2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right)}{x}\right) = \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{i \pi x}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right)}{x}\right) = - \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{i \pi x}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right)}{x}\right) = \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{i \pi x}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right)}{x}\right) = - \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{i \pi x}{\log{\left(2 \right)}}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right) = - \frac{x \log{\left(- \frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
- No
$$x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right) = \frac{x \log{\left(- \frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right) = - \frac{x \log{\left(- \frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
- No
$$x \frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{1 - x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(1 - x\right) = \frac{x \log{\left(- \frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{1}{x + 1} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar