Sr Examen

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(x+1)/(x^2-4)
Trazado el gráfico de la función/ (x+1)/(x^2-4)

Gráfico de la función y = (x+1)/(x^2-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x + 1 
f(x) = ------
        2    
       x  - 4
f(x)=x+1x2−4f{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x^{2} - 4} 
f = (x + 1)/(x^2 - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+1x2−4=0\frac{x + 1}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 1)/(x^2 - 4).
1−4+02\frac{1}{-4 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=−14f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{4}
Punto:
(0, -1/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x+1)(x2−4)2+1x2−4=0- \frac{2 x \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2x+(x+1)(4x2x2−4−1))(x2−4)2=0\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−33−1+323x_{1} = - \sqrt[3]{3} - 1 + 3^{\frac{2}{3}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→−2−(2(−2x+(x+1)(4x2x2−4−1))(x2−4)2)=−∞\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→−2+(2(−2x+(x+1)(4x2x2−4−1))(x2−4)2)=∞\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(2(−2x+(x+1)(4x2x2−4−1))(x2−4)2)=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→2+(2(−2x+(x+1)(4x2x2−4−1))(x2−4)2)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−33−1+323]\left(-\infty, - \sqrt[3]{3} - 1 + 3^{\frac{2}{3}}\right]
Convexa en los intervalos
[−33−1+323,∞)\left[- \sqrt[3]{3} - 1 + 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+1x2−4)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} - 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x+1x2−4)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} - 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 1)/(x^2 - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+1x(x2−4))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+1x(x2−4))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+1x2−4=1−xx2−4\frac{x + 1}{x^{2} - 4} = \frac{1 - x}{x^{2} - 4}
- No
x+1x2−4=−1−xx2−4\frac{x + 1}{x^{2} - 4} = - \frac{1 - x}{x^{2} - 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x+1)/(x^2-4)
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