Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres -x^ dos)/(x+ uno)
- (x al cubo menos x al cuadrado ) dividir por (x más 1)
- (x en el grado tres menos x en el grado dos) dividir por (x más uno)
- (x3-x2)/(x+1)
- x3-x2/x+1
- (x³-x²)/(x+1)
- (x en el grado 3-x en el grado 2)/(x+1)
- x^3-x^2/x+1
- (x^3-x^2) dividir por (x+1)
-
Expresiones semejantes
- (x^3+x^2)/(x+1)
- (x^3-x^2)/(x-1)
Gráfico de la función y = (x^3-x^2)/(x+1)
Solución
Ha introducido
[src]
3 2
x - x
f(x) = -------
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - x^{2}}{x + 1}$$
f = (x^3 - x^2)/(x + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x + 1} - \frac{x^{3} - x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}, 0\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x + 1} - \frac{x^{3} - x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
3 2
/ ___\ / ___\
| 1 \/ 5 | | 1 \/ 5 |
___ |- - + -----| - |- - + -----|
1 \/ 5 \ 2 2 / \ 2 2 /
(- - + -----, -------------------------------)
2 2 ___
1 \/ 5
- + -----
2 2 3 2
/ ___\ / ___\
| 1 \/ 5 | | 1 \/ 5 |
___ |- - - -----| - |- - - -----|
1 \/ 5 \ 2 2 / \ 2 2 /
(- - - -----, -------------------------------)
2 2 ___
1 \/ 5
- - -----
2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}, 0\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{x + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{x + 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1 + \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 + \sqrt[3]{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{x + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{x \left(3 x - 2\right)}{x + 1} - 1\right)}{x + 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1 + \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 + \sqrt[3]{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - x^2)/(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - x^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{x + 1} = \frac{- x^{3} - x^{2}}{1 - x}$$
- No
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{x + 1} = - \frac{- x^{3} - x^{2}}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{x + 1} = \frac{- x^{3} - x^{2}}{1 - x}$$
- No
$$\frac{x^{3} - x^{2}}{x + 1} = - \frac{- x^{3} - x^{2}}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar