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Trazado el gráfico de la función/ 4t-t^2

Gráfico de la función y = 4t-t^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2
f(t) = 4*t - t
f(t)=−t2+4tf{\left(t \right)} = - t^{2} + 4 t 
f = -t^2 + 4*t
Gráfico de la función
0510152025303540455055-50005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−t2+4t=0- t^{2} + 4 t = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución analítica
t1=0t_{1} = 0
t2=4t_{2} = 4
Solución numérica
t1=0t_{1} = 0
t2=4t_{2} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en 4*t - t^2.
0⋅4−020 \cdot 4 - 0^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
4−2t=04 - 2 t = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=2t_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(2, 4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
t1=2t_{1} = 2
Decrece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Crece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
−2=0-2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞(−t2+4t)=−∞\lim_{t \to -\infty}\left(- t^{2} + 4 t\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡t→∞(−t2+4t)=−∞\lim_{t \to \infty}\left(- t^{2} + 4 t\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*t - t^2, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞(−t2+4tt)=∞\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{- t^{2} + 4 t}{t}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡t→∞(−t2+4tt)=−∞\lim_{t \to \infty}\left(\frac{- t^{2} + 4 t}{t}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
−t2+4t=−t2−4t- t^{2} + 4 t = - t^{2} - 4 t
- No
−t2+4t=t2+4t- t^{2} + 4 t = t^{2} + 4 t
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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