Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3cos((x-pi)/3)+2

Gráfico de la función y = 3cos((x-pi)/3)+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x - pi\    
f(x) = 3*cos|------| + 2
            \  3   /
f(x)=3cos⁡(x−π3)+2f{\left(x \right)} = 3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{3} \right)} + 2 
f = 3*cos((x - pi)/3) + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-510
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3cos⁡(x−π3)+2=03 \cos{\left(\frac{x - \pi}{3} \right)} + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3asin⁡(23)−π2x_{1} = - 3 \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} - \frac{\pi}{2}
x2=3asin⁡(23)+5π2x_{2} = 3 \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \frac{5 \pi}{2}
Solución numérica
x1=1824.64694509378x_{1} = 1824.64694509378
x2=28.8927205241941x_{2} = 28.8927205241941
x3=90.487800312218x_{3} = 90.487800312218
x4=47.7422764457329x_{4} = 47.7422764457329
x5=−1247.83067011703x_{5} = -1247.83067011703
x6=33.9391325476017x_{6} = 33.9391325476017
x7=−8.80639131888338x_{7} = -8.80639131888338
x8=−3.7599792954758x_{8} = -3.7599792954758
x9=−65.3550590834997x_{9} = -65.3550590834997
x10=269049.754832725x_{10} = 269049.754832725
x11=15.089576626063x_{11} = 15.089576626063
x12=−41.4590911385533x_{12} = -41.4590911385533
x13=−27.6559472404221x_{13} = -27.6559472404221
x14=52.7886884691405x_{14} = 52.7886884691405
x15=104.290944210349x_{15} = 104.290944210349
x16=10.0431646026554x_{16} = 10.0431646026554
x17=−22.6095352170146x_{17} = -22.6095352170146
x18=71.6382443906792x_{18} = 71.6382443906792
x19=66.5918323672717x_{19} = 66.5918323672717
x20=−84.2046150050384x_{20} = -84.2046150050384
x21=−46.5055031619609x_{21} = -46.5055031619609
x22=575.529842248818x_{22} = 575.529842248818
x23=−98.0077589031696x_{23} = -98.0077589031696
x24=85.4413882888104x_{24} = 85.4413882888104
x25=−79.1582029816308x_{25} = -79.1582029816308
x26=−60.3086470600921x_{26} = -60.3086470600921
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos((x - pi)/3) + 2.
3cos⁡((−1)π3)+23 \cos{\left(\frac{\left(-1\right) \pi}{3} \right)} + 2
Resultado:
f(0)=72f{\left(0 \right)} = \frac{7}{2}
Punto:
(0, 7/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x−π3)=0- \sin{\left(\frac{x - \pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=4πx_{2} = 4 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(pi, 5)

(4*pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4πx_{1} = 4 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,π]∪[4π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[4 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π,4π]\left[\pi, 4 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x−π3)3=0- \frac{\cos{\left(\frac{x - \pi}{3} \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=5π2x_{2} = \frac{5 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π2]∪[5π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π2,5π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x−π3)+2)=⟨−1,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{3} \right)} + 2\right) = \left\langle -1, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,5⟩y = \left\langle -1, 5\right\rangle
lim⁡x→∞(3cos⁡(x−π3)+2)=⟨−1,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{3} \right)} + 2\right) = \left\langle -1, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,5⟩y = \left\langle -1, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos((x - pi)/3) + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x−π3)+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{3} \right)} + 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3cos⁡(x−π3)+2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \cos{\left(\frac{x - \pi}{3} \right)} + 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3cos⁡(x−π3)+2=3cos⁡(x3+π3)+23 \cos{\left(\frac{x - \pi}{3} \right)} + 2 = 3 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)} + 2
- No
3cos⁡(x−π3)+2=−3cos⁡(x3+π3)−23 \cos{\left(\frac{x - \pi}{3} \right)} + 2 = - 3 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)} - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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