Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$3 x^{2} - 4 x - 3 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
____ / ____\ / ____\
2 \/ 13 ____ |2 \/ 13 | |2 \/ 13 |
(- - ------, -2 + \/ 13 + |- - ------| - 2*|- - ------| )
3 3 \3 3 / \3 3 /
3 2
____ / ____\ / ____\
2 \/ 13 |2 \/ 13 | ____ |2 \/ 13 |
(- + ------, -2 + |- + ------| - \/ 13 - 2*|- + ------| )
3 3 \3 3 / \3 3 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}, \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}\right]$$