Gráfico de la función y = x^2/2^x

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$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{2^{x}}$$

f = x^2/2^x

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2}}{2^{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 101.563306651689$$
$$x_{2} = 111.44474561061$$
$$x_{3} = 131.272026392046$$
$$x_{4} = 127.301384626594$$
$$x_{5} = 68.3527986363674$$
$$x_{6} = 76.0768827675849$$
$$x_{7} = 95.6497685737187$$
$$x_{8} = 74.1377889261707$$
$$x_{9} = 57.0192149034607$$
$$x_{10} = 78.0203703715204$$
$$x_{11} = 105.512508320662$$
$$x_{12} = 62.6340316964102$$
$$x_{13} = 123.333031159598$$
$$x_{14} = 64.5310837998569$$
$$x_{15} = 89.7514630628809$$
$$x_{16} = 0$$
$$x_{17} = 99.5906530005437$$
$$x_{18} = 129.286435325347$$
$$x_{19} = 93.6817848935797$$
$$x_{20} = 119.367245574087$$
$$x_{21} = 125.316905391826$$
$$x_{22} = 115.404355161799$$
$$x_{23} = 81.9187305870874$$
$$x_{24} = 97.6194346544698$$
$$x_{25} = 51.5838654824719$$
$$x_{26} = 79.9677866103629$$
$$x_{27} = 83.8728547896937$$
$$x_{28} = 107.48887471786$$
$$x_{29} = 109.466310949967$$
$$x_{30} = 72.2036318578723$$
$$x_{31} = 60.7482552814372$$
$$x_{32} = 53.3681000470079$$
$$x_{33} = 66.4377807911402$$
$$x_{34} = 85.8298563947358$$
$$x_{35} = 103.537290185621$$
$$x_{36} = 121.349798156668$$
$$x_{37} = 91.7156288509941$$
$$x_{38} = 58.8757899255097$$
$$x_{39} = 117.385415878193$$
$$x_{40} = 87.7894702342357$$
$$x_{41} = 58.0361464921663$$
$$x_{42} = 70.2750498181946$$
$$x_{43} = 113.424113541811$$
$$x_{44} = 55.1818572993152$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2/2^x.
$$\frac{0^{2}}{2^{0}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:

(0, 0)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2^{- x} x^{2} \log{\left(2 \right)} + 2 \cdot 2^{- x} x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{2}{\log{\left(2 \right)}}$$
Signos de extremos en los puntos:

(0, 0)

             -2  
   2      4*e    
(------, -------)
 log(2)     2    
         log (2)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{2}{\log{\left(2 \right)}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \frac{2}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)$$

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2^{- x} \left(x^{2} \log{\left(2 \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2} + 2}{\log{\left(2 \right)}}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2 - \sqrt{2}}{\log{\left(2 \right)}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2} + 2}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{2 - \sqrt{2}}{\log{\left(2 \right)}}, \frac{\sqrt{2} + 2}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{2^{x}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{2^{x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/2^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2^{- x} x\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{- x} x\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2}}{2^{x}} = 2^{x} x^{2}$$
- No
$$\frac{x^{2}}{2^{x}} = - 2^{x} x^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Gráfico de la función y = x^2/2^x

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución