Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres + dos x)/(x- dos)^2
- (x al cubo más 2x) dividir por (x menos 2) al cuadrado
- (x en el grado tres más dos x) dividir por (x menos dos) al cuadrado
- (x3+2x)/(x-2)2
- x3+2x/x-22
- (x³+2x)/(x-2)²
- (x en el grado 3+2x)/(x-2) en el grado 2
- x^3+2x/x-2^2
- (x^3+2x) dividir por (x-2)^2
-
Expresiones semejantes
- (x^3+2x)/(x+2)^2
- (x^3-2x)/(x-2)^2
Gráfico de la función y = (x^3+2x)/(x-2)^2
Solución
Ha introducido
[src]
3
x + 2*x
f(x) = --------
2
(x - 2)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} + 2 x}{\left(x - 2\right)^{2}}$$
f = (x^3 + 2*x)/(x - 2)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} + 2 x}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} + 2 x}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x^{3} + 2 x\right)}{\left(x - 2\right)^{4}} + \frac{3 x^{2} + 2}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x^{3} + 2 x\right)}{\left(x - 2\right)^{4}} + \frac{3 x^{2} + 2}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}$$
Signos de extremos en los puntos:
3
/ ________________ \ ________________
| / _____ | / _____
| / 2*\/ 858 14 | / 2*\/ 858 28
4 + |2 + 3 / 12 + --------- + -----------------------| + 2*3 / 12 + --------- + -----------------------
| \/ 9 ________________| \/ 9 ________________
| / _____ | / _____
________________ | / 2*\/ 858 | / 2*\/ 858
/ _____ | 3*3 / 12 + --------- | 3*3 / 12 + ---------
/ 2*\/ 858 14 \ \/ 9 / \/ 9
(2 + 3 / 12 + --------- + -----------------------, --------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
\/ 9 ________________ 2
/ _____ / ________________ \
/ 2*\/ 858 | / _____ |
3*3 / 12 + --------- | / 2*\/ 858 14 |
\/ 9 |3 / 12 + --------- + -----------------------|
|\/ 9 ________________|
| / _____ |
| / 2*\/ 858 |
| 3*3 / 12 + --------- |
\ \/ 9 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}} + 2 + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{858}}{9} + 12}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x + \frac{3 x \left(x^{2} + 2\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 2\right)}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4}{7}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{3 x \left(x^{2} + 2\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 2\right)}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{3 x \left(x^{2} + 2\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 2\right)}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{4}{7}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4}{7}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x + \frac{3 x \left(x^{2} + 2\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 2\right)}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4}{7}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{3 x \left(x^{2} + 2\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 2\right)}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{3 x \left(x^{2} + 2\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 2\right)}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{4}{7}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4}{7}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + 2*x)/(x - 2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} + 2 x}{\left(x - 2\right)^{2}} = \frac{- x^{3} - 2 x}{\left(- x - 2\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{3} + 2 x}{\left(x - 2\right)^{2}} = - \frac{- x^{3} - 2 x}{\left(- x - 2\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} + 2 x}{\left(x - 2\right)^{2}} = \frac{- x^{3} - 2 x}{\left(- x - 2\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{3} + 2 x}{\left(x - 2\right)^{2}} = - \frac{- x^{3} - 2 x}{\left(- x - 2\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar