Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
y=x^3-3x^2+4
-
e^x/x
-
5-x
- Derivada de:
-
(x-2)/(x^2-3)
-
Expresiones idénticas
- (x- dos)/(x^ dos - tres)
- (x menos 2) dividir por (x al cuadrado menos 3)
- (x menos dos) dividir por (x en el grado dos menos tres)
- (x-2)/(x2-3)
- x-2/x2-3
- (x-2)/(x²-3)
- (x-2)/(x en el grado 2-3)
- x-2/x^2-3
- (x-2) dividir por (x^2-3)
-
Expresiones semejantes
- (x+2)/(x^2-3)
- (x-2)/(x^2+3)
Gráfico de la función y = (x-2)/(x^2-3)
Solución
Ha introducido
[src]
x - 2
f(x) = ------
2
x - 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 2}{x^{2} - 3}$$
f = (x - 2)/(x^2 - 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 2}{x^{2} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 2}{x^{2} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1, 3\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1/2)
(3, 1/6)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1, 3\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2}} + \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 1.81813278862134 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 1.81813278862134 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 1.30536061153193 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 1.30536061153193 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2}} + \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2}} + \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2}} + \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 1.81813278862134 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 1.81813278862134 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 1.30536061153193 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 1.30536061153193 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2}} + \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2}} + \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 2\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x^{2} - 3}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x^{2} - 3}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x^{2} - 3}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x^{2} - 3}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 2)/(x^2 - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 2}{x^{2} - 3} = \frac{- x - 2}{x^{2} - 3}$$
- No
$$\frac{x - 2}{x^{2} - 3} = - \frac{- x - 2}{x^{2} - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 2}{x^{2} - 3} = \frac{- x - 2}{x^{2} - 3}$$
- No
$$\frac{x - 2}{x^{2} - 3} = - \frac{- x - 2}{x^{2} - 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico