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Trazado el gráfico de la función/ 9x-ln(x-7)^9+10

Gráfico de la función y = 9x-ln(x-7)^9+10

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                9            
f(x) = 9*x - log (x - 7) + 10
f(x)=(9x−log⁡(x−7)9)+10f{\left(x \right)} = \left(9 x - \log{\left(x - 7 \right)}^{9}\right) + 10 
f = 9*x - log(x - 7)^9 + 10
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(9x−log⁡(x−7)9)+10=0\left(9 x - \log{\left(x - 7 \right)}^{9}\right) + 10 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=12.5083078396926x_{1} = 12.5083078396926
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 9*x - log(x - 7)^9 + 10.
10+(0⋅9−log⁡(−7)9)10 + \left(0 \cdot 9 - \log{\left(-7 \right)}^{9}\right)
Resultado:
f(0)=10−(log⁡(7)+iπ)9f{\left(0 \right)} = 10 - \left(\log{\left(7 \right)} + i \pi\right)^{9}
Punto:
(0, 10 - (pi*i + log(7))^9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
9−9log⁡(x−7)8x−7=09 - \frac{9 \log{\left(x - 7 \right)}^{8}}{x - 7} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=10.175200643338x_{1} = 10.175200643338
Signos de extremos en los puntos:
(10.175200643338004, 97.9082716028903)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=10.175200643338x_{1} = 10.175200643338
Decrece en los intervalos
(−∞,10.175200643338]\left(-\infty, 10.175200643338\right]
Crece en los intervalos
[10.175200643338,∞)\left[10.175200643338, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9(log⁡(x−7)−8)log⁡(x−7)7(x−7)2=0\frac{9 \left(\log{\left(x - 7 \right)} - 8\right) \log{\left(x - 7 \right)}^{7}}{\left(x - 7\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=8x_{1} = 8
x2=7+e8x_{2} = 7 + e^{8}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((9x−log⁡(x−7)9)+10)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(9 x - \log{\left(x - 7 \right)}^{9}\right) + 10\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((9x−log⁡(x−7)9)+10)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(9 x - \log{\left(x - 7 \right)}^{9}\right) + 10\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 9*x - log(x - 7)^9 + 10, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((9x−log⁡(x−7)9)+10x)=9\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(9 x - \log{\left(x - 7 \right)}^{9}\right) + 10}{x}\right) = 9
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=9xy = 9 x
lim⁡x→∞((9x−log⁡(x−7)9)+10x)=9\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(9 x - \log{\left(x - 7 \right)}^{9}\right) + 10}{x}\right) = 9
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=9xy = 9 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(9x−log⁡(x−7)9)+10=−9x−log⁡(−x−7)9+10\left(9 x - \log{\left(x - 7 \right)}^{9}\right) + 10 = - 9 x - \log{\left(- x - 7 \right)}^{9} + 10
- No
(9x−log⁡(x−7)9)+10=9x+log⁡(−x−7)9−10\left(9 x - \log{\left(x - 7 \right)}^{9}\right) + 10 = 9 x + \log{\left(- x - 7 \right)}^{9} - 10
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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