Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (x*(1-x))*acot(x)

Gráfico de la función y = (x*(1-x))*acot(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*(1 - x)*acot(x)
f(x)=x(1−x)acot⁡(x)f{\left(x \right)} = x \left(1 - x\right) \operatorname{acot}{\left(x \right)} 
f = (x*(1 - x))*acot(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(1−x)acot⁡(x)=0x \left(1 - x\right) \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*(1 - x))*acot(x).
0(1−0)acot⁡(0)0 \left(1 - 0\right) \operatorname{acot}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x(1−x)x2+1+(1−2x)acot⁡(x)=0- \frac{x \left(1 - x\right)}{x^{2} + 1} + \left(1 - 2 x\right) \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.412229156498396x_{1} = 0.412229156498396
Signos de extremos en los puntos:
(0.41222915649839564, 0.285859267122792)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0.412229156498396x_{1} = 0.412229156498396
Decrece en los intervalos
(−∞,0.412229156498396]\left(-\infty, 0.412229156498396\right]
Crece en los intervalos
[0.412229156498396,∞)\left[0.412229156498396, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−x2(x−1)(x2+1)2+2x−1x2+1−acot⁡(x))=02 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x - 1}{x^{2} + 1} - \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=8218.48126171693x_{1} = 8218.48126171693
x2=−8056.52661066143x_{2} = -8056.52661066143
x3=−26658.2137313151x_{3} = -26658.2137313151
x4=29330.6914607437x_{4} = 29330.6914607437
x5=−17346.0780726975x_{5} = -17346.0780726975
x6=36106.8575819719x_{6} = 36106.8575819719
x7=−28352.1012139759x_{7} = -28352.1012139759
x8=42884.5585909874x_{8} = 42884.5585909874
x9=38648.3609226638x_{9} = 38648.3609226638
x10=−16500.1115852185x_{10} = -16500.1115852185
x11=35259.7338222056x_{11} = 35259.7338222056
x12=24250.4060065098x_{12} = 24250.4060065098
x13=42037.2884509444x_{13} = 42037.2884509444
x14=−10584.7983734178x_{14} = -10584.7983734178
x15=−30893.1914038876x_{15} = -30893.1914038876
x16=37801.1726804939x_{16} = 37801.1726804939
x17=−9741.30520005449x_{17} = -9741.30520005449
x18=−36823.2898350132x_{18} = -36823.2898350132
x19=−32587.3941449722x_{19} = -32587.3941449722
x20=27637.030640896x_{20} = 27637.030640896
x21=−15654.3070414181x_{21} = -15654.3070414181
x22=−37670.5241013806x_{22} = -37670.5241013806
x23=36954.004408957x_{23} = 36954.004408957
x24=25096.9592712486x_{24} = 25096.9592712486
x25=28483.8365999112x_{25} = 28483.8365999112
x26=−18192.1855647465x_{26} = -18192.1855647465
x27=9892.47421151927x_{27} = 9892.47421151927
x28=19173.225592116x_{28} = 19173.225592116
x29=33565.5628573503x_{29} = 33565.5628573503
x30=41190.032630018x_{30} = 41190.032630018
x31=32718.5198305943x_{31} = 32718.5198305943
x32=10732.4911474043x_{32} = 10732.4911474043
x33=11573.8211335437x_{33} = 11573.8211335437
x34=−29199.0996066333x_{34} = -29199.0996066333
x35=20865.1215056049x_{35} = 20865.1215056049
x36=−23270.9806508066x_{36} = -23270.9806508066
x37=−22424.3132628392x_{37} = -22424.3132628392
x38=−31740.2799665046x_{38} = -31740.2799665046
x39=−13118.1476380912x_{39} = -13118.1476380912
x40=39495.567793629x_{40} = 39495.567793629
x41=−25811.3314219032x_{41} = -25811.3314219032
x42=−40212.3170109484x_{42} = -40212.3170109484
x43=−11428.8329659081x_{43} = -11428.8329659081
x44=−41059.6083626989x_{44} = -41059.6083626989
x45=17482.0411933177x_{45} = 17482.0411933177
x46=30177.5908614669x_{46} = 30177.5908614669
x47=15791.825589372x_{47} = 15791.825589372
x48=−20731.1926649969x_{48} = -20731.1926649969
x49=31871.5082840801x_{49} = 31871.5082840801
x50=14947.1976491849x_{50} = 14947.1976491849
x51=−14808.6897489579x_{51} = -14808.6897489579
x52=22557.5554118066x_{52} = 22557.5554118066
x53=21711.2797552984x_{53} = 21711.2797552984
x54=3.45739424140053x_{54} = 3.45739424140053
x55=9054.23355936396x_{55} = 9054.23355936396
x56=−41906.911919531x_{56} = -41906.911919531
x57=−24117.7099838345x_{57} = -24117.7099838345
x58=−12273.3084096919x_{58} = -12273.3084096919
x59=−27505.1381914797x_{59} = -27505.1381914797
x60=13259.255063692x_{60} = 13259.255063692
x61=−35976.0722838006x_{61} = -35976.0722838006
x62=25943.5859246352x_{62} = 25943.5859246352
x63=14102.9774178738x_{63} = 14102.9774178738
x64=−38517.7740217601x_{64} = -38517.7740217601
x65=23403.9347233459x_{65} = 23403.9347233459
x66=−33434.5320762678x_{66} = -33434.5320762678
x67=−39365.0386229886x_{67} = -39365.0386229886
x68=−24964.4953114058x_{68} = -24964.4953114058
x69=12416.1495439672x_{69} = 12416.1495439672
x70=−30046.1305202854x_{70} = -30046.1305202854
x71=34412.6349203299x_{71} = 34412.6349203299
x72=−21577.714645215x_{72} = -21577.714645215
x73=31024.5309441498x_{73} = 31024.5309441498
x74=20019.0969622962x_{74} = 20019.0969622962
x75=−13963.2905881063x_{75} = -13963.2905881063
x76=−35128.8726070408x_{76} = -35128.8726070408
x77=−8898.48725133622x_{77} = -8898.48725133622
x78=−19884.7564378631x_{78} = -19884.7564378631
x79=40342.7920691588x_{79} = 40342.7920691588
x80=18327.5308385306x_{80} = 18327.5308385306
x81=−34281.6920738085x_{81} = -34281.6920738085
x82=−19038.4165863075x_{82} = -19038.4165863075
x83=16636.791634951x_{83} = 16636.791634951
x84=26790.2785347477x_{84} = 26790.2785347477

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[42037.2884509444,∞)\left[42037.2884509444, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−41059.6083626989]\left(-\infty, -41059.6083626989\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(1−x)acot⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(1 - x\right) \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(1−x)acot⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(x \left(1 - x\right) \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(1 - x))*acot(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((1−x)acot⁡(x))=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\left(1 - x\right) \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞((1−x)acot⁡(x))=−1\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - x\right) \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(1−x)acot⁡(x)=x(x+1)acot⁡(x)x \left(1 - x\right) \operatorname{acot}{\left(x \right)} = x \left(x + 1\right) \operatorname{acot}{\left(x \right)}
- No
x(1−x)acot⁡(x)=−x(x+1)acot⁡(x)x \left(1 - x\right) \operatorname{acot}{\left(x \right)} = - x \left(x + 1\right) \operatorname{acot}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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